第 3 讲 函数的奇偶性与周期性【2013 年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内① 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；② 两个偶函数的和、积都是偶函数；③ 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1) 若奇函数 f ( x ) 在 x ＝ 0 处有定义，则 f (0) ＝ 0. (2) 设 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域分别是 D 1， D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇 × 奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 × 偶＝偶，奇 × 偶＝奇． 三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法： (1) 定义法； (2) 图象法； (3) 性质法． 三条结论(1) 若对于 R 上的任意的 x 都有 f (2 a － x ) ＝ f ( x ) 或 f ( － x ) ＝ f (2 a ＋ x ) ，则 y ＝ f ( x ) 的图象关 于直线 x ＝ a 对称． 1(2) 若对于 R 上的任意 x 都有 f (2 a － x ) ＝ f ( x ) ，且 f (2 b － x ) ＝ f ( x )( 其中 a ＜ b ) ，则： y ＝ f ( x ) 是以 2( b － a ) 为...
