专题十三 关于对称性在积分中的应用 宇宙中的许多事物都具有某种对称性, 从基本粒子、分子的结构, 到晶体以及蛋白体的空间点阵排列; 从雪花、树叶的形态, 到动物躯体以至天体的外观; 从简单机械运动、天体运动, 到放射性原子的衰变以至电磁波的辐射, 无不显示出优美和谐的对称。自然界绚丽多彩的对称性, 为数学讨论提供了一种独特的方法, 即对称方法。科学家利用这一锐利武器, 揭示和发现了很多自然界的神秘, 其中最典型的例子有麦克斯韦(Maxwell)方程、笛沙格(Desargues)定理和伽罗瓦(Galois)群等。它被著名科学家狄拉克(Dirac)称为“自然科学时代新方法的精华”。对称的概念在数学领域中也有广泛而重要的应用。对于一元函数而言对称通常表现为奇、偶函数 ,其图象关于原点、y 轴对称等。在求解高等数学的某些问题时 ,利用对称性往往能简化解题过程。数学中的对称性主要指在某种变换下保持不变的性质, 亦指数学概念、公式、命题结构的形式具有对称性。数学上的许多问题可以利用对称性来解决。数学对称法是一种探究性的发现方法, 它与其它方法的不同之处主要体现在其制造性功能。因此掌握和运用对称法, 对于活跃开拓学生的制造性思维, 提高推断解题能力, 探讨解题方法是十分有益的。积分的计算是高等数学教学的难点，在积分计算时，许多问题用“正规”的方法解决，常常把计算复杂化而增加了计算的难度。在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往能使计算简捷，达到事半功倍的效果。问题 1：对称性在积分中的应用主要体现在哪些方面？答：对称性在积分中的应用非常广泛，不仅在定积分，二重积分，还在线、面积分上也有应用。问题 2：什么样的定积分，可以应用对称性求解？有些什么样的结论？如何应用？答：定积分是积分学的基本内容, 定积分的计算方法很重要且多种多样, 有的方法不对，计算更繁琐，若能恰当应用对称性，即可简化定积分的计算。应用对称性，有下面的结论：定理1 设在上连续,则（1）若为奇函数, 则 .（2）若为偶函数, 则 .例 1、求积分 .解 ： 虽 然 被 积 函 数 非 奇 非 偶 ， 但 可 以 把 它 分 成 两 个 部 分和，前一部分是偶函数，后一部分是奇函数，因此，可用定理 1 的结论简化其计算。 .这样的例子很多，有的直接应用定理1，有的通过定积分性质拆项后再应用定理1，达到简化积分运算。问题 3：对于无穷限的广义积分，是否也有相应的应用对...
