第45讲椭圆[解密考纲]对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的长轴长为8，则m＝(C)A．4B．8C．16D．18解析椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C．2．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，且它的一个顶点为(0,2)，则椭圆C的标准方程为(D)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析根据题意，可知b＝2，结合离心率等于，可知a2＝16，所以椭圆方程为＋＝1.故选D．3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)A．2B．6C．4D．12解析如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4.4．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(D)A．－21B．21C．－或21D．或－21解析当9>4－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝.当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，∴＝，解得k＝－21.故选D．5．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，EF1·EF2的最大值、最小值分别为(B)A．9,7B．8,7C．9,8D．17,8解析由题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8.故选B．6．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(D)A．B．C．D．－1解析设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则解得m＝，n＝c，代入椭圆方程可得＋＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝＋1(舍去)或e＝－1.故选D．二、填空题7．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为__＋＝1__.解析椭圆的右焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4，e＝＝，∴m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为__7__.解析由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.9．椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是____.解析设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝.三、解答题10．如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．解析(1) |AB|＝|BF|，∴＝a，即4a2＋4b2＝5a2，即4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.x1＋x2＝－，x1x2＝. OP⊥OQ，∴OP·OQ＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0,5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.11．设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．解析(1)由题设条件知，点M的坐标为.又kOM＝，所以＝，所以a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程＋＝1，点N的坐标...
