课时达标第48讲曲线与方程[解密考纲]求曲线的轨迹方程，要注意定义法或直接法，这类题型一般在解答题的第(1)问中出现．一、选择题1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(D)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(B)A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆．3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是(D)A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得点Q的轨迹方程为2x－y＋5＝0.4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，点A(1,0)是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为(D)A.－＝1B．＋＝1C.－＝1D．＋＝1解析 M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是(A)A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)解析设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0，点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．6．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(B)A．4B．3C．2D．1解析 e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝，mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝2，∴m＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个．故选B.二、填空题7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足OC＝OA＋t(OB－OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是__2x－y－2＝0__.解析设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t，得点C的轨迹方程为y＝2x－2.8．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为__(x＋1)2＋(y－)2＝1__.解析由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1,0)，所以AC＝(－1,0)，AF＝(1，－a)，由题意得AC与AF的夹角为120°，得cos120°＝＝－，解得a＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是__＋＝1__.解析作P关于O的对称点M，连结F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，所以PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP.又OQ＝PF1＋PF2，所以OP＝－OQ.设Q(x，y)，则OP＝，即点P坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.三、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，点B在直线l1：y＝－1上，点M满足MB∥OA，MA·AB＝MB·BA，求点M的轨迹方程．解析设M(x，y)，由MB∥OA得B(x，－1)．又A(0,1)，则MA＝(－x，1－y)，MB＝(0，－1－y)，AB＝(x，－2)．由MA·AB＝MB·BA，得(MA＋MB)·AB＝0，代入坐标即(－x，－2y)·(x，－2)＝0⇒x2＝4y，所以点M的轨迹方程为x2＝4y.11．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹方程．解析从焦点F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线段，延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，则|PF1|＝|AP|，在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a，即|AP|＋|PF2|＝|AF2|＝...
