课时达标第23讲平面向量的概念及其线性运算[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝(A)A．a－bB．a＋bC．a－bD．a＋b解析AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a.故选A．2．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(D)A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D项正确．3．(2018·湖北襄阳四校联考)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝(B)A．B．C．D．解析如图，OA＝a，OB＝b，依题意，在△OAC中，由正弦定理得＝＝＝.4．如图所示，在△ABC中，若BC＝3DC，则AD＝(C)A．AB＋ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB－AC解析AD＝CD－CA＝CB－CA＝(AB－AC)＋AC＝AB＋AC.故选C．5．已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为(C)A．B．C．D．解析由5AM＝AB＋3AC，得2AM＝2AD＋3AC－3AM，即2(AM－AD)＝3(AC－AM)，即2DM＝3MC，故DM＝DC，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.6．已知O是△ABC所在平面外一点且满足OP＝OA＋λ，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的(B)A．重心B．内心C．外心D．垂心解析如图，设＝AF，＝AE，已知AF，AE均为单位向量，且四边形AEDF为平行四边形，故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC．由OP＝OA＋λ，得AP＝λAD，又AP与AD有公共点A，故A，D，P三点共线，所以点P在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心．二、填空题7．(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是__4__，最大值是__2__.解析设a，b的夹角为θ，∵|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝＋＝＋，则y2＝10＋2.∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，∴y∈[4,2]，即(|a＋b|＋|a－b|)∈[4,2]．8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝__3__.解析由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM＝AD，因为AD为中线，则AB＋AC＝2AD＝3AM，所以m＝3.9．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__－1__.解析∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD，即∴p＝－1.三、解答题10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，CD＝CA＋λCB，求实数λ的值．解析如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则CD＝CE＋CF.因为CD＝CA＋λCB，所以CE＝CA，CF＝λCB.由△ADE∽△ABC，得＝＝，所以ED＝CF＝CB，故λ＝.11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若AE＝mAB＋AD，求实数m的值．解析由N是OD的中点得AN＝AD＋AO＝AD＋(AD＋AB)＝AD＋AB，又因为A，N，E三点共线，故AE＝λAN，即mAB＋AD＝λ，所以解得故实数m＝.12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解析(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．
