课时达标第24讲平面向量基本定理及坐标表示[解密考纲]本考点重点考查平面向量的基本定理、坐标表示及其运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．若向量AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝(B)A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,7)D．(－3，－7)解析因为AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，所以BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B．2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，则实数a＝(B)A．－1B．2或－1C．2D．－2解析因为m∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.故选B．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若OB∥AC，则实数m的值为(C)A．－2B．－C．D．2解析在平面直角坐标系xOy中，点O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)，所以OB＝(1，－2)，AC＝(m，－1)．又因为OB∥AC，所以＝，m＝.故选C．4．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y，使得AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为(A)A．B．C．D．解析设M为AC的中点，则AO＝xAB＋yAC＝xAB＋2yAM.因为x＋2y＝1，所以O，B，M三点共线．又因为O是△ABC的外接圆圆心，所以BM⊥AC，从而cos∠BAC＝.故选A．5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则(A)A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.6．如图所示，在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，且AM＝2MB，AN＝AC，线段CM与BN相交于点P，且AB＝a，AC＝b，则AP用a和b表示为(A)A．AP＝a＋bB．AP＝a＋bC．AP＝a＋bD．AP＝a＋b解析由于AM＝a，MB＝，AN＝b，NC＝b，则MC＝AC－AM＝b－a，BN＝AN－AB＝b－a.设MP＝λMC＝λ，BP＝μBN＝μ，由MP－BP＝MB，得λ－μ＝a，得解得因此AP＝AB＋BP＝a＋＝a＋b.二、填空题7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝__5__.解析∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，∴a－c＝(3－k，－6)．∵(a－c)∥b，∴1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5.8．已知向量a＝(λ＋1,1)，b＝(λ＋2,2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝__0__.解析∵a＋b＝(2λ＋3,3)，a－b＝(－1，－1)，且(a＋b)∥(a－b)，∴＝，∴λ＝0.9．已知向量OA＝(3,4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是__m≠－__.解析因为AB＝OB－OA＝(3，－7)，AC＝OC－OA＝(2－m，－7－m)，点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即AB与AC不共线，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－，故实数m应满足m≠－.三、解答题10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解析(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴a＋3b＝(7,3)．故|a＋3b|＝＝.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．∵ka－b与a＋3b平行，∴3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此时ka－b＝(k－2，－1)＝，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．11．在△OAB的边OA，OB上分别取M，N，使|OM|∶|OA|＝1∶3，|ON|∶|OB|＝1∶4，设线段AN与BM的交点为P，OA＝a，OB＝b，用a，b表示OP.解析∵A，P，N三点共线，∴OP＝λOA＋(1－λ)ON＝λa＋(1－λ)b.又∵M，P，B三点共线，∴OP＝μOM＋(1－μ)OB＝μa＋(1－μ)b.∴解得∴OP＝a＋b.12．已知平面上三个点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使得A，B，C，D四点构成平行四边形．解析设D(x，y)，由ABCD为平行四边形得AB＝DC，即(1,2)＝(3－x，4－y)，可解得D(2,2)；由ABDC为平行四边形得AB＝CD，即(1,2)＝(x－3，y－4)，可解得D(4,6)；由ADBC为平行四边形得AD＝CB，即(x＋2，y－1)＝(－4，－1)，可解得D(－6,0)．因此A，B，C，D四点构成平行四边形的D点坐标是(2,2)或(4,6)或(－6,0)．
