第九章平面解析几何第7课时椭圆(2)考情分析考点新知根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.②掌握椭圆的简单应用.1.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．答案：＋＝1解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，则所求椭圆方程为＋＝1.2.已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.答案：3解析：依题意，有可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故b＝3.3.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且BF＝2FD，则C的离心率为________．答案：解析：(解法1)如图，|BF|＝＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由BF＝2FD，得＝＝，所以|DD1|＝|OF|＝c，即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－，即e＝.(解法2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b，b＞0)，设D(x2，y2)，F分BD所成的比为2，xF＝x2＝xF＝c；yF＝y2＝＝＝－，代入·＋·＝1e＝.4.F1，F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则PF1·PF2的最大值是________．答案：1解析：设P(x，y)，依题意得F1(－，0)，F2(，0)，PF1·PF2＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2. 0≤x2≤4，∴－2≤x2－2≤1.∴PF1·PF2的最大值是1.5.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．答案：4解析：由余弦定理得cos∠F1PF2＝cos60°＝＝，即|PF1|·|PF2|＝4.1.椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．2.椭圆的焦半径(1)对于焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ex；|PF2|＝a－ex．(2)对于焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ey；|PF2|＝a－ey.题型1求综合情况下椭圆的基本量例1如图，F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且OM＝OF2，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，AF1·AF2＝0.(1)求椭圆的离心率；(2)若△ABF1的周长为4，求椭圆的方程．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则M，x0＝c. ＝e，∴|AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0. AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2,即a2＋e2x＝2c2. x0＝c，∴a2＋e2·c2＝2c2,∴1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0，∴e2＝或2(舍)，∴椭圆的离心率e＝.(2) △ABF2的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.又＝，∴c＝2,∴b2＝2.∴椭圆方程为＋＝1.已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．(1)若离心率为，求椭圆的方程；(2)当AF·FB<7时，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)由已知，得c＝m，＝m＋1，从而a2＝m(m＋1)，b2＝m.由e＝，得b＝c，从而m＝1.故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)，从而AF＝(2m＋1，m＋1)，FB＝(1，m＋1)，故AF·FB＝2m＋1＋(m＋1)2＝m2＋4m＋2<7，得0b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：∠NAP为锐角．(1)解：依题意，得解得从而b＝，故椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设N(x0，y0)， N点在椭圆上，∴y＝(4－x)．又N点异于顶点A、B，∴－20，y0≠0，∴AN·AP>0，于是∠NAP为锐角．如图，在平面直角坐标系x...
