课时达标检测（二十三）平面向量的概念及线性运算[——小题对点练点点落实]对点练(一)平面向量的有关概念1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的____________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p．∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要对点练(二)平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b,则BE＝()A.b－aB.a－bC．－a＋bD.b＋a解析：选CBE＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋a＝b－a，故选C.2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1B．－C．1或－D．－1或－解析：选B由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.3．(2018·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若AB＝a，AC＝b，则PQ＝()A.a＋bB．－a＋bC.a－bD．－a－b解析：选APQ＝PB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选A.4．(2017·郑州二模)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC，则()A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋n是定值，定值为3C.＋是定值，定值为2D.＋是定值，定值为3解析：选D法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由AN＝nAC可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为AM＝mAB，所以m＝，整理可得＋＝3.法二：因为M，D，N三点共线，所以AD＝λAM＋(1－λ)·AN.又AM＝mAB，AN＝nAC，所以AD＝λmAB＋(1－λ)·nAC.又BD＝DC，所以AD－AB＝AC－AD，所以AD＝AC＋AB.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.5．(2018·银川一模)设点P是△ABC所在平面内一点，且BC＋BA＝2BP，则PC＋PA＝________.解析：因为BC＋BA＝2BP，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故PC＋PA＝0.答案：06．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．解析：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.答案：7．(2018·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB(λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝AB，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.答案：38．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以AB＝2DC. 点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)． AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μ＝. 0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.答案：[——大题综合练迁移贯通]1.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝...
