课时达标检测（二十五）平面向量的数量积及其应用[——小题对点练点点落实]对点练(一)平面向量的数量积1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.解析：选B如图所示，AF·BC＝(AD＋DF)·BC＝·BC＝·BC＝－BA·BC＋AC·BC＝－＋＝.2．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若AE·BF＝－9，则λ的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B依题意得AE＝AB＋BE＝BC－BA，BF＝BC＋BA，因此AE·BF＝·＝BC2－BA2＋BC·BA，于是有×62＋×62×cos60°＝－9.由此解得λ＝3，故选B.3．(2018·嘉兴一模)如图，B，D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB＝，AD＝，则AC·BD＝()A．1B．2C．tD．2t解析：选A因为BD＝AD－AB，所以AC·BD＝AC·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB＝|AC|·|AD|cos∠CAD－|AC|·|AB|cos∠CAB.又AC为圆的直径，所以连接BC，DC(图略)，则∠ADC＝∠ABC＝，所以cos∠CAD＝，cos∠CAB＝，则AC·BD＝|AD|2－|AB|2＝t＋2－(t＋1)＝1，故选A.4．(2018·广西质检)已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________.解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6.答案：65．(2018·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.答案：4对点练(二)平面向量数量积的应用1．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A．0B．1C．2D.解析：选D|a－b|＝＝＝＝.2．(2018·云南民族中学一模)已知向量AB＝(x,1)(x>0)，AC＝(1,2)，|BC|＝，则AB，AC的夹角为()A.B.C.D.解析：选C因为BC＝AC－AB＝(1－x,1)，所以|BC|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设AB，AC的夹角为θ，则cosθ＝＝，所以θ＝.故选C.3．(2018·广东五校协作体一模)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()A．－1B．2C．1D．－2解析：选A根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.4．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．1D．－1解析：选A因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.5．(2017·吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为()A.B.C.D．1解析：选A由题意可知－1＝a·b＝|a|·|b|cos120°，所以2＝|a|·|b|≤，即|a|2＋|b|2≥4，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥，所以|a－b|的最小值为.6．(2018·河北石家庄一模)已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是()A．[－1，＋1]B．[1，]C．[，]D．[－1,1]解析：选A法一：因为a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，所以|a＋b|＝.所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c＝3－2(a＋b)·c.当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos0°＝，|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，所以|a＋b－c|min＝－1；当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cosπ＝－，|a＋b－c|2＝3＋2＝(＋1)2，所以|a＋b－c|max＝＋1.所以|a＋b－c|的取值范围为[－1，＋1]．故选A.法二：由题意不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)．则a＋b－c＝(1－cosθ，1－sinθ)，|a＋b－c|＝＝，令t＝3－2sin，则3－2≤t≤3＋2，故|a＋b－c|∈[－1，＋1]．对点练(三)平面向量与其他知识的综合问题1．(2018·丰台期末)在△ABC中，若BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，则的值为()A.B.C.D.解析：选A设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b...
