江西省横峰中学高中数学教学案：选修 2-1 第二章 第十三课 空间距离的计算教学目标：能用向量方法进行有关距离的计算教学重点：向量方法求点到面的距离教学难点：向量方法求点到面的距离教学过程一、创设情景1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式设空间两点，则2、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的向量为 ，则两异面直线间的距离是 在 方向上的正射影向量的模。4、向量法在求点到平面的距离中（1）设分别以平面外一点 P 与平面内一点 M 为起点和终点的向量为 ，平面的法向量为 ，则P 到平面的距离 d 等于 在 方向上正射影向量的模。（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点 P（x0,y0,z0）到平面 AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为：d=三、数学运用1、例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=，底面 ΔABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距离。解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）设 平 面A1BC的 一 个 法 向 量 为， 则1zyxC1B1A1ACBCADBOE即所以，点 B1到平面 A1BC 的距离解 2 建系设点同上（略），设平面 A1BC 的方程为 ax+by+cz+d=0(a,b,c,d 不全为零)，把点 A1，B，C 三点坐标分别代入平面方程得平面 A1BC 的方程为 x+z=0 又 B1（0,1,）设点 B1到平面 A1BC 的距离为 d，则2、例 2 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，（I）求证：平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。解：（I）略（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线...
