中考数学专题训练五圆的有关计算证明与探究

2025 中考数学专题训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．类型 1 与圆的有关性质【例 1】如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)若 BC＝3，sinP＝，求⊙O 的直径．【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．【学生解答】解：(1) ∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)连接 AC， AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.又 CD⊥AB，∴BD＝BC.∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sinP＝，即＝.又 BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O 的直径为 5.针对练习1．如图，A，B 是⊙O 上的两点，∠AOB＝120°，C 是AB的中点．(1)求证：AB 平分∠OAC；(2)延长 OA 至 P 使得 OA＝AP，连接 PC，若⊙O 的半径 R＝1，求 PC 的长．解：(1)连接 OC， ∠AOB＝120°，C 是AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°. OA＝OC，∴△ACO 是等边三角形，∴OA＝AC.同理 OB＝BC.∴OA＝AC＝BC＝OB.∴四边形 AOBC 是菱形．∴AB 平分∠OAC；(2) C 为AB中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°. OA＝OC，∴△OAC 是等边三角形．∴OA＝AC， OA＝AP，∴AP＝AC.∴∠APC＝30°.∴△OPC 是直角三角形，PC＝OC＝.类型 2 圆的切线的性质与判定【例 2】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD＝CB，延长 CD 交 BA 的延长线于点E.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若 BD 的弦心距 OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留 π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在 Rt△OBF 中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得 BD 的长，∠BOD 的度数，又由 S 阴影＝S 扇形 OBD－S△BOD，即可求解．【学生解答】解：(1)连接 OD， BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC＝90°. CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB. OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即 OD⊥CD. 点 D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；(2)在 Rt△OBF 中， ∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝. OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S 阴影＝S 扇形 OBD－S△BOD＝－×2...