专题 7 平面向量的线性运算及其应用【2018 年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级，只有平面向量的应用为 A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】 1．向量的概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线 l 的斜率为 k，则a＝(1，k)是直线 l 的一个方向向量．(5)|b|cos〈a，b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)若 a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)若 a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝＝.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN＝ON－OM(其中 O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量 a，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．【题型示例】考点 1、平面向量的线性运算【例 1】 【2017 课标 1，理 13】已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】 【变式探究】【2016 高考新课标 2 理数】已知向量，且，则（ ）（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选 D. 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC＝3CD，则( )A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC解析 BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即 4AC－AB＝3AD，∴AD...
