2.2.3 导数的简单应用、定积分1．(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1[解析] 由题意可得 f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]． x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex － 1 的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选 A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2sinx＋sin2x，则 f(x)的最小值是________．[解析] 解法一：由 f(x)＝2sinx＋sin2x，得 f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2，令 f′(x)＝0，得 cosx＝或 cosx＝－1，可得当 cosx∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 cosx∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以当 cosx＝时，f(x)取最小值，此时sinx＝±.又因为 f(x)＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)，1＋cosx≥0 恒成立，∴f(x)取最小值时，sinx＝－，∴f(x)min＝2××＝－.解法二：f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)，∴f2(x)＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3.令 cosx＝t，t∈[－1,1]，设 g(t)＝4(1－t)(1＋t)3，∴g′(t)＝－4(1＋t)3＋12(1＋t)2(1－t)＝4(1＋t)2(2－4t)．当 t∈时，g′(t)>0，g(t)为增函数；当 t∈时，g′(t)<0，g(t)为减函数．∴当 t＝时，g(t)取得最大值，即 f2(x)的最大值为，得|f(x)|的最大值为，又 f(x)＝2sinx＋sin2x 为奇函数，∴f(x)的最小值为－.[答案] －3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则 a＝________.[解析] 设 f(x)＝(ax＋1)ex，则 f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率 k＝f′(0)＝a＋1＝－2，解得 a＝－3.[答案] －34．(2018·北京卷)设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围．[解] (1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1.此时 f(1)＝3e≠0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若 a>，则当...
