第 2 讲 导数的应用一、知识梳理1．函数的单调性在(a，b)内函数 f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，则点 a 叫作函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数 y＝f(x)的极小值．函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，则点 b 叫作函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数 y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上是增加的，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上是减少的，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值．(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：① 求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；② 将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．常用结论1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、教材衍化1．如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2，1)上 f(x)是增函数B．在区间(1，3)上 f(x)是减函数C．在区间(4，5)上 f(x)是增函数D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值解析：选 C.在(4，5)上 f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)是增函数．2．设函数 f(x)＝＋ln x，则( )A．x＝为 f(x)的极大值点B．x＝为 f(x)的极小值点C．x＝2 为 f(x)的极大值点D．x＝2 为 f(x)的极小值点解析：选 D.f′(x)＝－＋＝(x>0)，当 0
