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高考数学 考点一遍过 专题19 平面向量的数量积及向量的应用(含解析)文试题VIP免费

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考点19平面向量的数量积及向量的应用1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积1.平面向量数量积的概念(1)数量积的概念已知两个非零向量,ab,我们把数量||||cosab叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab||||cosab,其中θ是a与b的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.(2)投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ,则||cosa(||cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图(1)(2)(3)所示,分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形,其中1OB||cosa,它的意义是,向量a在向量b方向上的投影长是向量1OB�的长度.(3)数量积的几何意义由向量投影的定义,我们可以得到ab的几何意义:数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上的投影||cosb的乘积.2.平面向量数量积的运算律已知向量,,abc和实数,则①交换律:abba;②数乘结合律:()()abab=()ab;③分配律:()abc=acbc.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)xyxyab,是a与b的夹角.(1)数量积:ab1212||||cosxxyyab.(2)模:2211||xyaaa.(3)夹角:cos||||abab121212122222xxyyxyxy.(4)垂直与平行:0abab12120xxyy;a∥b⇔a·b=±|a||b|.【注】当a与b同向时,||||abab;当a与b反向时,ab||||ab.(5)性质:|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔121212222212||xxyyxyxy.三、平面向量的应用1.向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)xyxyab.(1)证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量共线的条件:∥abab1221xyxy0(0)b(2)证明线段垂直问题,如证明四边形是正方形、矩形,判断两直线(或线段)是否垂直等,常用向量垂直的条件:0abab1212xxyy0(其中,ab为非零向量)(3)求夹角问题,若向量a与b的夹角为,利用夹角公式:cos||||abab121212122222xxyyxyxy(其中,ab为非零向量)(4)求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:||a1122xy,或||||ABAB�223434()()xxyy(其中,AB两点的坐标分别为3344(,),(,)xyxy)(5)对于有些平面几何问题,如载体是长方形、正方形、直角三角形等,常用向量的坐标法,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算解决综合问题.2.向量在物理中常见的应用(1)向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算.(2)向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即W||||cos(FsFs为F和s的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法:(1)平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式ab||||cosab;二是坐标公式ab1212xxyy.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1已知向量1,2a,向量b满足2b,,ab的夹角为π3,则abA.5B.2C.3D.2【答案】A【解析】由题意可得22125a,则ππcos52cos533abab.故选A.1.如图,在矩形ABCD中,2AB,2BC,点E为BC的中点,点F在边CD上,且2DFFC�,则AEBF�的值是.考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用:(1)求夹角的大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos||||abab(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量...

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