第 2 课时 椭圆的简单几何性质考点一 椭圆的性质【例 1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.(2)已知椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－4y＝0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.解析 (1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2＋y2＝a2，直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝＝a，整理为 a2＝3b2，即＝.∴e＝＝＝＝＝.(2)设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形. |AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设 M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.离心率 e＝＝＝＝∈.答案 (1)A (2)A规律方法 求椭圆离心率的方法(1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝a2－c2消去 b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解.【训练 1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.(2)设椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD⊥F1B，则椭圆 C 的离心率等于________.解析 (1)设 M(－c，m)，则 E，OE 的中点为 D，则 D，又 B，D，M 三点共线，所以＝，所以 a＝3c，所以 e＝.(2)由题意知 F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 c＝，因为过 F2且与 x 轴垂直的直线为 x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 A，B.因为 AB 平行于 y 轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即 D 为线段 F1B 的中点，所以点 D 的坐标为，又 AD⊥F1B，所以 kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得 b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又 e＝且 0＜e＜1，所以 e2＋2e－＝0，解得 e＝(e＝－舍去).答案 (1)A (2)考点二 椭圆性质的应用【例 2】 (1)(2018·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝，且它的一个焦点与抛物...
