第 3 节 数学归纳法及其应用最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳 理1.数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n 0( n 0∈N+)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立.2.数学归纳法的框图表示[常用结论与微点提醒]1.数学归纳法证题时初始值 n0不一定是 1.2.推证 n＝k＋1 时一定要用上 n＝k 时的假设，否则不是数学归纳法.3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证 n＝1 时结论成立.( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项.( )解析 对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证 n＝1 时结论成立，如证明凸 n 边形的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证 n＝3 时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由 n＝k 到 n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验 n等于( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验 n＝3.答案 C3.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N+)”的过程中，第二步假设 n＝k 时等式成立，则当 n＝k＋1 时，应得到( )A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1解析 观察可知等式的左边共 n 项，故 n＝k＋1 时，应得到 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.答案 D4.用数学归纳法证明 12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由 n＝k 的假设到证明 n＝k＋1 时，等式左边应添加的式子是( )A.(k＋1)2＋2k2 B.(k＋1)2＋k2C.(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]解析 由 n...
