第 4 课时 单位圆与诱导公式 1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α,π+α,π-α,α+ ”的诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.3.通过公式的运用,学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法.我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即 sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z)与 cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求 0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?问题 1:将任意角转化成 0°~360°间的角的几种情况因为任意角都可以通过终边相同的角转化成 0°~360°间的角,对于任意 0°~360°的角 β,只有四种可能(其中 α 为锐角),则有β=问题 2:(1)角 α 与-α 的正弦函数、余弦函数关系如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分别为 P 和 P',可知 OP 与 OP'关于 轴对称,设 P 点的坐标为(a,b),则点 P'的坐标为(a,-b),所以 sin(-α)=-b,cos α=a.即 sin(-α)= ,cos(-α)= . 1(2)角 α 与 α±π 的正弦函数、余弦函数关系如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α,其终边与单位圆的交点为 P,当点 P按逆(顺)时针方向旋转 π 至点 P'时,点 P'的坐标为:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此时点 P 与点 P'关于原点对称,横、纵坐标都互为 ,故sin(α+π)= ,cos(α+π)= ;sin(α-π)= ,cos(α-π)= . (3)角 α 与 π-α 的正弦函数、余弦函数关系如图,在单位圆中,当∠MOP=α 是锐角时,作∠MOP'=π-α,不难看出,点 P 和点 P'关于 y轴对称,则有 sin(π-α)= , cos(π-α)= . (4)角 α 与 +α 的正弦函数、余弦函数关系在 单 位 圆 中 , 仿 照 上 面 的 方 法 , 可 以 得 出 ,sin(α+ )= ,cos(α+ )= . 问题 3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式(1)sin(2kπ+α)= ;cos(2kπ+α)= ; (2)sin(-α)= ;cos(-α)= ; (3)sin(2π-α)= ;cos(2π-α)= ; (4)sin(π-α)= ;cos(π-α)= ; (5)sin(π+α)= ;cos(π+α)= ; (6)sin(α+ )= ;cos(α+ )= ; (7)sin( -α)= ;cos( -α)= . 问题 4:讨论几组诱导公式的共同点与规律(1)2kπ±α,-α,π±α 的三角函数值等于 α ...
