第 3 讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题[做真题](2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知曲线 C：y＝，D 为直线 y＝－上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.证明：直线 AB 过定点．证明：设 D，A(x1，y1)，则 x＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故＝x1.整理得 2tx1－2y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2y2＋1＝0.故直线 AB 的方程为 2tx－2y＋1＝0.所以直线 AB 过定点.[明考情]圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖． 定值问题1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．案例关键步(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．(1)略(2)BC 的中点坐标为(，)，可得 BC 的中垂线方程为 y－＝x2(x－).由(1)可得 x1＋x2＝－m，所以 AB 的中垂线方程为 x＝－.联立又 x＋mx2－2＝0，可得所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径 r＝.故圆在 y 轴上截得的弦长为 2＝3，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3.2．从特殊到一般求定值：常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．案例关键步(2015·高考四川卷)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴 CD 上，且PC·PD＝－1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点．是否存在常数 λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由．(1)略(2)当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋PC·PD＝－2－1＝－3.[关键 1：分类讨论，证明当 AB 的斜率不存在时OA·OB＋λPA·PB为定值]当直线 AB 的斜率存...
