第 8 课时 等比数列的应用1
理解等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质
能应用等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质解决相关的数列问题
前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要
问题 1:等比数列通项公式的性质(1)对任意的 m,n∈N+,an=am· ,q=
(2)若 m+n=p+q,则 ,特别地,若 m+n=2p,则
(3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为
(4)① 数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列 ,公比为
② 若{an}为等比数列,公比为 q,则{a2n}也是等比数列,公比为
③ 若{an}为等比数列,公比为 q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为
④ 若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比是两等比数列公比之
问题 2:等比数列的前 n 项和的简单性质(1)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为 (q≠1)
(2)当 q≠1 时,Sn=Aqn+B(其中 A+B= )
(3)Sn+m=Sm+qmSn(q 为公比)
问题 3:等比数列的判定方法(1)定义法:若 =q(q 为非零常数且 n≥2),则{an}是等比数列; (2)等比中项法:若 an≠0 且= (n∈N+),则{an}是等比数列; (3)通项公式法:若 an=c· (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N+),则{an}是等比数列; (4)前 n 项和公式法:若 Sn=k·qn+ (k 为常数且 k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列
