课时分层训练(二十四)平面向量的概念及线性运算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC中，已知M是BC中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝()【导学号：31222142】A.a－bB.a＋bC．a－bD．a＋bA[AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a，故选A.]2．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，DB[因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．]3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()【导学号：31222143】A.B.C．－D．－A[∵AD＝2DB，即CD－CA＝2(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.]4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|C[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直A[由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC－AB)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．]二、填空题6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________.【导学号：31222144】平行四边形[由OA＋OC＝OB＋OD得OA－OB＝OD－OC，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．]7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)e1＋e2[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2)．]8．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.－[∵AM＝2MC，∴AM＝AC.∵BN＝NC，∴AN＝(AB＋AC)，∴MN＝AN－AM＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC.又MN＝xAB＋yAC，∴x＝，y＝－.]三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.图411[解]AD＝(AB＋AC)＝a＋b.2分AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.12分10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．[解](1)证明：∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－CD，∴AC与CD共线.3分又∵AC与CD有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分(2)AC＝AB＋BC＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分∵A，C，D三点共线，∴AC与CD共线，从而存在实数λ使得AC＝λCD，9分即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得解得λ＝，k＝.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则的值为()【导学号：31222145】A.B.C．1D．2A[∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD(图略)，∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD＝ME＝(MA＋MC)．∵MB＋MA＋MC＝0，∴MB＝－(MA＋MC)＝－3MD，∴＝＝，故选A.]2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图412，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.图412[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为点M为AH的中点，所以AM＝AH＝(AB＋BH)＝＝AB＋BC，又AM＝λAB＋μBC，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.]3．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．[解]由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，3分整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.6分因为a，b不共线，所以有9分解之得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.12分
