第二节平面向量的基本定理及坐标表示————————————————————————————————[考纲传真]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于()A．5B.C.D．13B[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)A[AB＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.－6[ a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．(1,5)[设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]平面向量基本定理及其应用(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.(1)D(2)[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2)选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝AB＋AD，于是得解得所以λ＋μ＝.][规律方法]1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1]如图421，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA＝a，BC＝b，则EF＝________，DF＝________，CD＝________(用向量a，b表示)．图421b－ab－aa－b[EF＝EA＋AB＋BF＝－b－a＋b＝b－a，DF＝DE＋EF＝－b＋＝b－a，CD＝CF＋FD＝－b－＝a－b.]平面向量的坐标运算已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．[解]由已知得...
