课时分层训练(二十五)平面向量的基本定理及坐标表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图422，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：图422①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()【导学号：31222147】A．①②B．①③C．①④D．③④B[①中AD，AB不共线；③中CA，DC不共线．]2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋bB[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴∴∴c＝a－b.]3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()【导学号：31222148】A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向D[由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．]4．如图423，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()图423A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝A[由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.]5．(2015·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()A．24B．8C.D.B[∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，∴＋＝×(2x＋3y)≥＝×＝8，当且仅当＝时，等号成立，∴＋的最小值是8，故选B.]二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则a－b的单位向量的坐标是________．[由题意得a－b＝(－4,3)，则|a－b|＝＝5，则a－b的单位向量的坐标为.]7．(2017·广州综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.2[由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]8．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(0，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.【导学号：31222149】m≠[由题意得AB＝(－3,1)，AC＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则AB，AC不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.]三、解答题9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．[解](1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1).2分∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.5分(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).7分∴解得∴点C的坐标为(5，－3).12分10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，2分所以解得5分(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，7分由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·四川高考)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是()A.B.C.D.B[设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－，0)，C(，0)，A(0,3)．又|AP|＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.由PM＝MC知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，则∴∴(2x－)2＋(2y－3)2＝1，即2＋2＝，∴点M的轨迹是以H为圆心，r＝为半径的圆，∴|BH|＝＝3，∴|BM|的最大值为3＋r＝3＋＝，∴|BM|2的最大值为.]2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图424所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.【导学号：31222150】图4244[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.]3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．[解](1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2).2分当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.5分(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2).7分∵AB＝OB－OA＝(4,4)，AM＝OM－OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB，10分∴AM与AB共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线.12分
