课时分层训练(二十六)平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()【导学号：31222152】A．－B．0C.D．3A[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8D[法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.]3．平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是()【导学号：31222153】A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形C[因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB－AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．]4．(2016·安徽黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量AC在BD方向上的投影为()A.B．－C.D．－D[ AC＝(－1,1)，BD＝(3,2)，∴AC在BD方向上的投影为|AC|cos〈AC，BD〉＝＝＝＝－.故选D.]5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.C[ a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0. |b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.－2[ |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]7．在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(“”填重心“”“”“”垂心内心或外心)．垂心[ OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．]8．如图431，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．【导学号：31222154】图43122[由题意知：AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2，即2＝25－AD·AB－×64，解得AB·AD＝22.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．[解]由已知得，a·b＝4×8×＝－16.2分(1) |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.4分 |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.6分(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，8分∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直.12分10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．[解](1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4).3分所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.5分(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t).8分由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·河南商丘二模)已知a，b均为单位向量，且a·b＝0.若|c－4a|＋|c－3b|＝5，则|c＋a|的取值范围是()A．[3，]B．[3,5]C．[3,4]D．[，5]B[ a，b均为单位向量，且a·b＝0，∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得＋＝5.即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5.∴c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，又|c＋a|＝，表示M(－1,0)到线段AB上点的距离，最小值是点(－1,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离，∴|c＋a|min＝＝3.又最大值为|MA|＝5，∴|c＋a|的取值范围是[3,5]．故选B.]2．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a...
