重点强化训练(二)平面向量A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()【导学号：31222166】A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λbD[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]3．(2016·北京高考)设a，b“是向量，则|a|＝|b|”“是|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|“不一定成立，从而不是必要条件．故|a|＝|b|”“是|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若|OA＋OC|＝，α∈(0，π)，则OB与OC的夹角为()【导学号：31222167】A.B.C.πD.πA[由题意，得OA＋OC＝(3＋cosα，sinα)，所以|OA＋OC|＝＝＝，即cosα＝，因为α∈(0，π)，所以α＝，C.设OB与OC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则OA·OB的值是()A．－B.C．－D．0A[取AB的中点C，连接OC，AB＝，则AC＝，又因为OA＝1，所以sin＝sin∠AOC＝＝，所以∠AOB＝120°，则OA·OB＝1×1×cos120°＝－.]二、填空题6．设O是坐标原点，已知OA＝(k,12)，OB＝(10，k)，OC＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．【导学号：31222168】11或－2[由题意得CA＝OA－OC＝(k－4,7)，CB＝OB－OC＝(6，k－5)，所以(k－4)(k－5)＝6×7，k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为原点，则正实数a的值为________．2[由|OA＋OB|＝|OA－OB|，知OA⊥OB，∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，∴＝，解得a＝2(a>0)．]8．在△ABC中，BC＝2，A＝，则AB·AC的最小值为________．－[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤，所以AB·AC＝|AB|·|AC|·cos≥－，(AB·AC)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号取得．]三、解答题9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R).【导学号：31222169】(1)若m＝n＝，求|OP|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．[解](1) m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，∴OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分∴|OP|＝＝2.5分(2) OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴8分两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分10．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分又x∈，从而sinx＝，所以x＝.5分(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，8分当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设OA＝a，OB＝b，OC＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝()A．－4B．3C．－11D．10C[a·b＝2×3×cos60°＝3，AB＝OB－OA＝b－a，AC＝OC－OA＝(m－1)a－2b. AB⊥AC，∴AB·AC＝0，即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，即4(1...
