第三节基本不等式————————————————————————————————[考纲传真]1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1≤．基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)≥＋2(a，b同号且不为零)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.()(3)x>0，y>0≥是＋2的充要条件．()(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.≥＋2D[ a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D， ab>0，∴≥＋2＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A．7B．8C．9D．10C[ a，b都是正数，∴＝5≥＋＋5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()【导学号：31222209】A．1＋B．1＋C．3D．4C[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.25[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]利用基本不等式求最值(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．(1)C(2)3[(1)由＋＝知a>0，b>0≥，所以＝＋2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2“”时取＝，所以ab的最小值为2.(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x≥＝＋2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.][规律方法]1.“利用基本不等式求函数最值时，注意一正、二定、三相等，和定积最”大，积定和最小．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1](1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式≥＋m恒成立，则m的最大值等于()A．10B．9C．8D．7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．(1)B(2)－4[(1) ＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取≥等号．又＋m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2) m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴＋＝－(m＋n)≤＝－－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]利用基本不等式证明不等式已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)≥＋＋8；(2)≥9.[证明](1)＋＋＝2， a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2≥＋＋2＋2＝4，3分∴≥＋＋8(当且仅当a＝b＝时等号成立).5分(2)法一： a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，10分∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).12分法二：＝1＋＋＋，由(1)≥知，＋＋8，10分故＝1≥＋＋＋9.12分[规律方法]1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2“”“”．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有和式或积式，通过将“”“”“”“”“和式转化为积式或将积式转化为和式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用拆、”拼、凑的技巧，同时应注意多次运...
