第九节曲线与方程[基础达标]一、选择题(每小题5分,共20分)1.与圆A:x2+(y+5)2=49和圆B:x2+(y-5)2=1都外切的圆的圆心P的轨迹是()A.一个椭圆B.双曲线的一支C.一条抛物线D.一个圆1.B【解析】设圆P的半径为R,由题意可知,PA=R+7,PB=R+1,两式相减得PA-PB=6,所以其轨迹是以A,B为焦点,且实轴长2a=6的双曲线靠近圆B的一支.2.(2015·梅州一模)动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x2.B【解析】双曲线x2-=1的左焦点为(-2,0),设M(x,y),动圆的半径为r,由动圆M与直线x=2相切,可得|x-2|=r,又动圆M经过双曲线的左焦点,则=r,即有=|x-2|,两边平方,化简可得y2=-8x.3.(2015·重庆模拟)若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=03.A【解析】点P与圆心连线的斜率为-1,则弦AB的斜率为1,即=1,所以直线AB的方程为x-y-3=0.4.(2015·西安八校联考)已知双曲线的中心在原点上,一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一个顶点的坐标为(1,0),则此双曲线的方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=14.A【解析】抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0),也是双曲线的一个焦点,则c=2,又a=1,所以b2=c2-a2=3,则此双曲线的方程为x2-=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2015·梅州一模)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,且经过点M的椭圆的标准方程为.5.=1【解析】设椭圆E的方程为=1(a>b>0). c=1,∴a2-b2=1①, 点在椭圆E上,∴=1②,由①②得a2=4,b2=3,∴椭圆E的方程为=1.6.(2015·潍坊二模)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为.6.y2=16x【解析】由题意可得该圆的圆心是线段OF的中垂线与抛物线的交点,所以圆心横坐标为,半径r=,又该圆的面积为36π,则r=6,所以=6,p=8,则该抛物线方程为y2=16x.三、解答题(共35分)7.(10分)过点P1(1,5)作一直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且BM∶MA=1∶2,求动点M的轨迹方程.7.【解析】由题意可知,直线P1A和P2B的斜率均存在,且不为0,设直线P2B的方程为y-7=k(x-2),则直线P1A的方程为y-5=-(x-1),则有A(5k+1,0),B(0,-2k+7),设M(x,y),则由BM∶MA=1∶2得消去k,并且整理得12x+15y-74=0.8.(12分)(2015·广东七校联考)已知两点A(-2,0),B(2,0),动点P与A,B两点连线的斜率kPA,kPB满足kPA·kPB=-.(1)求动点P的轨迹E的方程.(2)H是曲线E与y轴正半轴的交点,曲线E上是否存在两点M,N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.8.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y)(x≠±2),则kPA=,kPB=,依题意kPA·kPB=-,所以=-,化简得+y2=1,所以动点P的轨迹E的方程为+y2=1(x≠±2).(2)假设能构成等腰直角△HMN,其中H(0,1),由题意可知,直角边HM,HN不可能垂直或平行于x轴,故可设HM所在直线的方程为y=kx+1(k>0),则HN所在直线的方程为y=-x+1.联立方程消去y整理得(1+4k2)x2+8kx=0,解得xM=-,将xM=-代入y=kx+1,可得yM=+1,故点M的坐标为M.所以|HM|=,同理可得|HN|=,由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,所以k3-4k2+4k-1=0,整理得(k-1)(k2-3k+1)=0,解得k=1或k=,当HM斜率k=1时,HN斜率为-1;当HM斜率k=时,HN斜率为;当HM斜率k=时,HN斜率为.综上所述,符合条件的三角形有3个.9.(13分)(2015·天津五区县质检)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,以原点O为圆心,b为半径的圆与直线x-y+2=0相切,P为椭圆C上的动点.(1)求椭圆的方程;(2)设M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若=λ≤λ<1,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.9.【解析】(1)圆的方程为x2+y2=b2,圆心到直线x-y+2=0的距离d==b,又e=,即a=c,结合b2+c2=a2得a=,c=1,故椭圆C的方程为=1.(2)由P(x,y),可设M(x,y'),其中x∈[-],由=λ得=λ2,而y2=2-x2,则=λ2,整理得(3λ2-1)x2+3λ2y'2=6其中-≤x≤≤λ<1.(ⅰ)当λ=时,点M的轨迹方程为y'2=6,即y'=±(-≤x≤),轨迹是两条平行于x轴的线段;(ⅱ)当<λ<1时,点M的轨迹方程为=1,因为0<3λ2-1<3λ2,所以轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-≤x≤的部分.[高考冲关]1.(5分)已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切,点F关于圆...
