第四篇平面向量第1节平面向量的概念及线性运算【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的基本概念1,9平面向量的线性运算3共线向量问题4,10三点共线问题2,5,7综合问题6,8,11,12,13,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.给出下列命题:①向量与向量的长度相等,方向相反;②+=0;③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;④与是共线向量,则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是(A)(A)2(B)3(C)4(D)1解析:①正确;②中+=0,而不等于0;③正确;④中与所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选A.2.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列三点一定共线的是(B)(A)A,B,C(B)A,B,D(C)B,C,D(D)A,C,D解析:因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.3.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于(D)(A)a-b(B)a-b(C)a+b(D)a+b解析:连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.故选D.4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与(A)(A)反向平行(B)同向平行(C)互相垂直(D)既不平行也不垂直解析:由题意得=+=+,=+=+,=+=+,因此++=+(+-)=+=-,故++与反向平行.故选A.5.(2016·温州八校检测)设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为(B)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.故选B.6.(2016·山东济南一模)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:=+λ(+),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(B)(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:作∠BAC的平分线AD.因为=+λ(+),所以=λ(+)=λ′·(λ′∈[0,+∞)),所以=·,所以∥.所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.7.(2016·广东佛山模拟)如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交其对角线于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为=,=,则=,=2,由向量加法的平行四边形法则可知=+,所以=λ=λ(+)=λ(+2)=λ+2λ,由E,F,K三点共线可得λ+2λ=1,所以λ=.故选A.8.(2016·三明一中月考)在△ABC中,D为BC的中点,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于.解析:因为D为BC的中点,所以=+=+,又因为O为AD的中点,所以==+,所以λ+μ=+=.答案:9.导学号18702218给出下列命题:①向量的长度与向量的长度相等;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.解析:①与是相反向量,模相等,正确;②由0方向是任意的且与任意向量平行,不正确;③相等向量长度相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;④零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.答案:②④10.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,即得λ=-2μ.故存在这样的实数λ,μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016·华中师大附中期中)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC中点,则的值为(A)(A)(B)(C)1(D)2解析:如图所示,因为D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD.所以四边形MAEC为平行四边形,所以==(+).因为++=0,所以=-(+)=-3,所以==.故选A.12.导学号18702219如图所示,在△ABC中,AD=DB,点F在线段CD上,设=a,=b,=xa+yb,则+的最小值为(D)(A)6+2(B)6(C)6+4(D)3+2解析:由题意知=xa+yb=2x+y,因为C,F,D三点共线,所以2x+y=1,即y=1-2x.由题图可知x>0且x≠1.所以+=+=.令f(x)=,则f′(x)=,令f′(x)=0,得x=-1或x=--1(舍).当0-1且x≠1时,f′(x)>0.所以当x=-1时,f(x)取得极小值,亦为最小值,最小值为f(-1)==3+2.故选D.13.(2016·枣庄模拟)若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为.解析:+-2=(-)+(-)=+,-==-,所以|-|=|+|.故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.答案:直角三角形14.(2016·广州一调)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=.解...
