第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积4平面向量的夹角与垂直1,3,9,14平面向量的模2,8平面向量数量积的综合问题7,10,11平面向量与其他知识的交汇5,6,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·哈尔滨六中期中)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于(B)(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1解析:由题意得m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),因为(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=0(2λ+3,3)⇒·(-1,-1)=0,所以λ=-3.故选B.2.(2016·长春外国语学校检测)设向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为(C)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解析:因为向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),所以a+b=(2λ+2,2),a-b=(-2,0),于是由|a+b|=|a-b|可得=2,解得λ=-1,故选C.3.(2016·衡水中学调研)已知a,b是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则a,b的夹角为(C)(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°解析:因为(a+b)⊥a,所以a2+a·b=0,所以a·b=-1,所以|a||b|cos
=-1,所以cos=-,所以=120°,故选C.4.(2016·兰州一中期中)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a与b的数量积等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:由已知可得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),因为a+2b与2a-b平行,所以(-1+2m)×3-(-2-m)×4=0,解得m=-.即b=(-,1).所以a·b=-1×(-)+2×1=.故选D.5.(2016·遵义校级期末)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为m⊥n,所以m·n=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化为b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cosA===.因为A∈(0,π),所以A=.6.(2016·广东实验中学测试)在△ABC中,已知向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为(D)(A)三边均不相等的三角形(B)直角三角形(C)等腰非等边三角形(D)等边三角形解析:设∠BAC的角平分线为AD,则+=λ.由已知得AD⊥BC,所以△ABC为等腰三角形.又由·=得cos∠BAC=,所以∠BAC=60°,所以△ABC为等边三角形,故选D.7.已知点G为△ABC的重心,∠A=120°,·=-2,则||的最小值是(C)(A)(B)(C)(D)解析:设BC的中点为M,则=.又M为BC中点,所以=(+),所以==(+),所以||=.又因为·=-2,∠A=120°,所以||||=4.所以||=≥=,当且仅当||=||时取“=”,所以||的最小值为,故选C.8.(2016·江西临川一中期中)设a=(x,3),b=(2,-1),若a⊥b,则|2a+b|=.解析:因为a⊥b,所以2x-3=0,解得x=,所以|2a+b|==5.答案:59.(2016·牡丹江一中月考)已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P点的纵坐标为,Q点的横坐标为,则cos∠POQ=.解析:由题意可得点P的坐标为(,),点Q的坐标为(,-),则=(,),=(,-),由向量的夹角公式得cos∠POQ==-.答案:-10.导学号18702229已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)由a⊥b得a·b=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为a∥b,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|==2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|==2.综上,|a-b|为2或2.11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.所以cosθ===-.又0≤θ≤π,所以θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=,所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·宁夏银川模拟)已知正三角形ABC的边长是3,D是BC上的点,BD=1,则·等于(B)(A)-(B)-(C)(D)解析:由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos60°=7,所以AD=,所以cos∠ADB==-,所以·=×3×cos∠ADB=3×(-)=-.故选B.13.导学号18702232若a,b,c均为单位向量,a·b=-,c=xa+yb(x,y∈R),则x+y的最大值是(D)(A)1(B)(C)(D)2解析:因为a·b=-,c=xa+yb,所以c2=(xa+yb)2=(x2+y2)+2xy×(-)=x2+y2-xy=1,所以(x+y)2-3xy=1,即(x+y)2=3xy+1≤3×()2+1,所以(x+y)2≤4,所以|x+y|≤2,故选D.14.(2016·洛阳统考)已知A(-1,cosθ),B(sinθ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),...
