第三节平面向量的数量积[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知向量a,b和实数λ,下列选项中错误的是()A.|a|=B.|a·b|=|a||b|C.λ(a·b)=λa·bD.|a·b|≤|a||b|1.B【解析】|a·b|=|a||b||cosθ|,故易知B错误.2.(2015·青岛诊断)已知不共线的平面向量a,b满足a=(-2,2),(a+b)⊥(a-b),那么|b|=()A.2B.3C.2D.82.A【解析】a=(-2,2),得|a|=2,而(a+b)⊥(a-b)得(a+b)·(a-b)=0,即|a|2-|b|2=0,即|b|=|a|,因此|b|=2.3.(2015·浙江嘉兴一中测试)已知=0,||=1,||=2,=0,则||的最大值为()A.B.2C.D.23.C【解析】由=0,=0知B点,D点都在以AC为直径的圆上,当BD为圆的直径时其值最大且为.4.已知向量a=(1,2x),b=(4,-x),则“x=”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.A【解析】当x=时,a·b=4-2x2=4-4=0即有a⊥b,反之a⊥b时,有a·b=0,即4-2x2=0,得x=±.5.(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.π5.A【解析】由条件得(a-b)·(3a+2b)=3a2-2b2-a·b=0,即a·b=3a2-2b2.又|a|=|b|,所以a·b=3·-2b2=b2,所以cos
=,所以=.6.(2016·山西忻州一中月考)已知向量a与向量b的夹角为120°,若(a+b)⊥(a-2b)且|a|=2,则b在a上的投影为()A.-B.C.D.6.A【解析】由(a+b)⊥(a-2b)得(a+b)·(a-2b)=0,即|a|2-a·b-2|b|2=0,又|a|=2,由向量a与向量b的夹角为120°得a·b=|a||b|cos=-|b|,故4+|b|-2|b|2=0⇒|b|=,|b|=(舍),而b在a上的投影为|b|cosθ,即cos120°=-.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2015·宜春一模)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=2,则|c|的取值范围是.7.[2-,2+]【解析】由a,b是单位向量,a·b=0.可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).∵向量c满足|c-a-b|=2可得(x-1)2+(y-1)2=4,其圆心C(1,1),半径r=2,∴|OC|=.∴r-|OC|≤|c|≤|OC|+r,即2-≤|c|≤2+.∴|c|的取值范围是[2-,2+].8.(2015·湖北高考)已知向量,||=3,则=.8.9【解析】因为,所以=0,所以·()=+0=32=9.9.若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是.9.-【解析】由|2a-b|≤3可知,4a2+b2-4a·b≤9,所以4a2+b2≤9+4a·b.而4a2+b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|·|b|≥-4a·b,所以-4a·b≤9+4a·b,得a·b≥-.[高考冲关]1.(5分)(2015·陕西高考)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b21.B【解析】对任意向量a,b,|a·b|=|a||b|≤|a||b|,所以A恒成立;|a-b|≥||a|-|b||,所以B不恒成立;由数量积的运算法则可得(a+b)2=|a+b|2和(a+b)(a-b)=a2-b2恒成立,即C,D均恒成立.2.(5分)(2015·湖北华中师大附中月考)已知a,b是两个单位向量,且a·b=-,向量c与a+b共线,则|a+c|的最小值为()A.B.C.D.12.A【解析】由于向量c与a+b共线,所以可设c=λ(a+b),因此|a+c|=|(1+λ)a+λb|,而|(1+λ)a+λb|2=(1+λ)2|a|2+2(1+λ)·λa·b+λ2|b|2=(1+λ)2+2(1+λ)·λ·+λ2=λ2+λ+1=,所以当λ=-时,|(1+λ)a+λb|2取最小值为,即|a+c|2最小值为,故当λ=-时,|a+c|取最小值为.3.(5分)(2015·遵义一模)已知AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且的夹角为120°,则=()A.B.C.D.3.B【解析】如图所示,||=||=1,且夹角为120°,所以=||·||·cos120°=-,又因为AD,BE分别是△ABC的中线,所以),)=(-)=-2),解得(2-2),(4+2),故)·(2)=(2)=2-1+=.4.(5分)(2015·哈尔滨三中四模)向量=(1,1),=(),f(x)=,函数f(x)的最大值为.4.2【解析】由题得f(x)=(-3≤x≤1),所以f2(x)=4+2,即f2(x)=4+2=4+2,因此当x=-1时,f2(x)取最大值为8,故f(x)的最大值为2.5.(10分)设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.5.【解析】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得<0,即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简即得2t2+15t+7<0,解得-7
