单元综合检测(四)一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知a与b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a-3b|等于()A.B.C.D.41.A【解析】|a-3b|=.2.(2016·福建厦门一中期中考试)已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为()A.12B.6C.3D.32.B【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义可得a·b=-12=|a|·|b|cos135°=4|b|·,解得|b|=6.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.π3.A【解析】 (a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-2b2-a·b=0,即a·b=3a2-2b2=b2,∴cos
=,即=.4.如图所示,M,N是函数y=2sin(wx+φ)(ω>0)图象与x轴的交点,点P在M,N之间的图象上运动,当△MPN面积最大时=0,则ω=()A.B.C.D.84.A【解析】由图象可知,当P位于M,N之间函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的最高点时,△MPN面积最大.又此时=0,∴△MPN为等腰直角三角形.过P作PQ⊥x轴于Q,∴|PQ|=2,则|MN|=2|PQ|=4,∴周期T=2|MN|=8.∴ω=.5.(2016·兰州一中月考)△ABC的外接圆圆心为O,半径为1,2且||=||,则向量在向量方向的投影为()A.B.C.-D.-5.A【解析】 2,∴O,B,C三点共线,∴AB⊥AC. ||=||,∴∠ABC=60°,∴向量在向量方向上投影为||·cos60°=.6.M是△ABC所在平面内一点,=0,D为AC中点,则的值为()A.B.C.1D.26.A【解析】如图所示, D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD,∴四边形MAEC为平行四边形,∴), =0,∴=-)=-3,∴.7.(2016·河南八市重点高中月考)已知向量与向量的夹角为θ,||=3,||=2,设向量,若,则θ的大小为()A.B.C.D.7.C【解析】因为,所以=0,即)=0,整理得=-3,因此2×3×cosθ=-3cos⇒θ=-,因为0≤θ≤π,所以θ=.8.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足,则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点8.B【解析】设AB的中点是E, O是三角形ABC的重心,∴+2). =2,∴+4)=×3,∴P在AB边的中线上,是中线的三等分点,不是重心.9.(2016·福建泉州五校联考)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足,则△ABM与△ABC的面积之比等于()A.B.C.D.9.D【解析】 ,∴M,B,C三点共线,过C作AB的垂线交AB于点D,过点M作AB的垂线交AB于点E,取AH=AC,AN=AB,过点H作AB的垂线交AB于F, ,∴,即AHMN构成平行四边形,则HF=ME,而S△ABM∶S△ABC=ME∶CD=HF∶CD=AH∶AC=,∴△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.10.(2016·江西师大附中、临川一中联考)已知点C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,PC是∠APB的角平分线,I为PC上一点,满足+λ(λ>0),||-||=4,||=10,则的值为()A.2B.3C.4D.510.B【解析】 ||=||=10,PC是∠APB的角平分线,又+λ(λ>0),即=λ,所以I在∠BAP的角平分线上,由此得I是△ABP的内心,过I作IH⊥AB于H,以I为圆心,IH为半径,作△PAB的内切圆,如图,分别切PA,PB于E,F,则||-||=4,||=10,||=||=(||+||-||)=[||-(||-||)]=3,在直角三角形BIH中,cos∠IBH=,所以=||cos∠IBH=||=3.二、填空题(每小题5分,共20分)11.已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m的值为.11.2【解析】2a+b=(2,4)+(m,4)=(2+m,8),由a∥(2a+b)得2×(2+m)=8,即m=2.12.(2016·安徽皖江名校联盟联考)在平面直角坐标系内,已知B(-3,-3),C(3,-3),H(cosa,sina),则的最大值为.12.6+19【解析】由题意得B(-3,-3),C(3,-3),H(cosα,sinα),=(cosα+3,sinα+3),=(cosα-3,sinα+3),∴=(cosα+3,sinα+3)·(cosα-3,sinα+3)=cos2α-9+sin2α+6sinα+27=6sinα+19≤6+19.13.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角B=.13.【解析】由m⊥n得m·n=0,即cosA-sinA=0tan⇒A=,又因为在三角形ABC中,00,所以sinC=1,即C=,因此B=π-.14.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,=x+y,则x+y的值为.14.-【解析】根据题意,以线段AB所在直线为x轴,以O为原点建立平面直角坐标系,设圆的半径为r,则有A(-r,0),B(r,0),C,D(0,r),所以=(-r,0),,即解得所以有x+y=-.三、解答题(共50分)15.(12分)已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx...
