第2讲三角恒等变换与解三角形「考情研析」正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算．2.三角形形状的判断．3.面积的计算．4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.核心知识回顾1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝□sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝□cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝□.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝□2sinαcosα；cos2α＝□cos2α－sin2α＝□2cos2α－1＝□1－2sin2α；tan2α＝□；cos2α＝□，sin2α＝□.3．辅助角公式asinα＋bcosα＝□sin(α＋φ).4．正弦定理□＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝□2RsinA，b＝□2RsinB，c＝□2RsinC.sinA＝□，sinB＝□，sinC＝□.a∶b∶c＝□sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝□b2＋c2－2bccosA，b2＝□a2＋c2－2accosB，c2＝□a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝□，cosB＝□，cosC＝□.6．面积公式S△ABC＝□bcsinA＝□acsinB＝□absinC.7．常用结论(1)三角形内角和□A＋B＋C＝π；(2)a>b>c⇔□A>B>C⇔□sinA>sinB>sinC；(3)□sin(A＋B)＝sinC，□cos(A＋B)＝－cosC.热点考向探究考向1三角恒等变换与求值例1(1)已知α为第一象限角，cosα＝，则＝()A.B．C．D．－答案C解析 cosα＝且α为第一象限角，∴sinα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，∴＝＝＝.(2)已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝()A.B．C．－D．答案C解析 sin＝(sinθ－cosθ)＝，∴sinθ－cosθ＝. θ∈(0，π)，且sin2θ＋cos2θ＝1，∴∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.(3)(2019·四川德阳高三第二次诊断)已知α为锐角，且tanα＝，则cos＝()A．－B．－C．D．答案A解析cos＝－sin2α＝－2sinαcosα＝＝＝－.(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角余弦公式降幂．(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，＋α＝－，α＝－等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．1．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－B．C．D．－答案B解析由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.又因为A，B是△ABC的内角，即A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，易知C＝，cosC＝.2．(2019·辽宁抚顺高三一模)已知函数f(x)＝sinx－cos，若在区间上f(x)≥a恒成立，则实数a的最大值是()A．－B．－C．D．答案A解析函数f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＝sin，由于0≤x≤，故－≤x－≤，－≤sin≤.当x＝0时，函数的最小值为－.由于在区间上f(x)≥a恒成立，故a≤－，所以a的最大值为－.故选A.3．已知tan＝，且－<α<0，则等于()A．－B．－C．－D．答案A解析由tan＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.考向2正弦定理与余弦定理的应用例2(2019·辽宁抚顺高三一模)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4asinB＋3bcosA.(1)求sinB的值；(2)若c＝14，求b的值．解(1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π，由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA，即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，由于0
0，整理可得3cosB＝4sinB，又sinB>0，所以sinB＝.(2)因为角B是最小的内角，所以0
