第58讲空间向量运算及其应用夯实基础【p132】【学习目标】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．2．理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【基础检测】1．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则()A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝【解析】 a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，故有＝＝.∴x＝，y＝－.【答案】C2．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)【解析】不妨设向量为b＝(x，y，z)，A．若b＝(－1，1，0)，则cosθ＝＝＝－≠，不满足条件．B．若b＝(1，－1，0)，则cosθ＝＝＝，满足条件．C．若b＝(0，－1，1)，则cosθ＝＝＝－≠，不满足条件．D．若b＝(－1，0，1)，则cosθ＝＝＝－1≠，不满足条件．【答案】B3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则MN＝()A.(c＋b－a)B.(a＋b－c)C.(a－c)D.(c－a)【解析】根据向量的线性运算MN＝MA1＋A1N＝BA1＋A1C1＝(BA＋AA1)＋(A1B1＋B1C1)＝(－b＋c)＋(b－a)＝(c－a)．【答案】D4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确定的一点P与三点A，B，C共面，则λ＝________．【解析】由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，若由向量OP＝OA＋OB＋λOC确定的点P与A，B，C共面，则＋＋λ＝1，解得λ＝.【答案】5．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为__________．【解析】设AD＝λAC，O为坐标原点，则OD＝OA＋λAC＝(1，－1，2)＋λ(0，4，－3)＝(1，－1＋4λ，2－3λ)，所以BD＝OD－OB＝(－4，5＋4λ，－3λ)，因为BD⊥AC，所以BD·AC＝0＋4(5＋4λ)＋9λ＝0，解得λ＝－，所以BD＝，所以|BD|＝＝5.【答案】5【知识要点】1．空间向量的有关概念(1)在空间中，我们把具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的__模或长度__，用__|a|__表示，长度为零的向量叫做零向量，记为__0__；模为__1__的向量叫做单位向量．(2)长度相等且方向相同的向量叫做__相等向量__，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量__相等__．2．空间向量的加、减法法则和运算律(1)向量加法运算法则是__平行四边形__法则或__三角形__法则，即①加法法则：OB＝OA＋AB；②减法法则：BA＝OA－OB.(2)运算法则：①加法交换律：a＋b＝__b＋a__；②加法结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__．(3)线段AB的中点公式：设O是空间任意一点，点P是线段AB的中点，则OP＝__(OA＋OB)__．3．向量的数乘运算(1)实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的__数乘运算__，向量λa的长度为__|λa|__，当λ＞0时与a同向，当λ＜0时与a反向．(2)运算法则：①数乘分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②数乘结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__．4．平行向量(共线向量)(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相__平行或重合__，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a∥b.(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a(a≠0)，b，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ使得b＝__λa__．5．向量与平面平行(1)如果表示向量a的有向线段所在直线与平面α__平行__或a在α平面__内__，我们就说向量a平行于平面α，记作a∥α.(2)共面向量：我们把平行于同一__平面__的向量叫做共面向量．(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的实数对x，y，使得p＝__xa＋yb__．6．空间向量基本定理(1)基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使p＝__x__a＋y__b＋z__c__．(2)三个向量a，b，c不共面，我们把{a，b，c}叫做空间的一个__基底__，a，b，c都叫做__基向量__．7．空间两向量的数量积(...
