第26讲解三角形夯实基础【p55】【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【基础检测】1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b＜c，则b＝()A．3B．2C．2D.【解析】由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.【答案】C2．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若B＝30°，c＝2，b＝2，则C＝()A.B.或C.D.或【解析】由正弦定理＝得＝sinC＝，∴C＝或.【答案】B3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()A.B.C.D.【解析】由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得＝c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝.【答案】C4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，该三角形的面积为，则b的值为()A.B.C．2D．2【解析】由锐角三角形中sinA＝得：cosA＝，面积bcsinA＝，所以bc＝3，根据余弦定理cosA＝，所以＝，整理得：b2＋＝6，解得：b2＝3，所以b＝.【答案】A5．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一高为15米的烟囱AB(不计B离河岸的距离)，设OB与圆弧CD的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为30°和60°.若CE的长为10米，则BC＝________米．【解析】在△EAB中，因为∠AEB＝60°，所以BE＝5，在△OAB中，因为∠AOB＝30°，所以BO＝15，所以在△OCE中，OE＝CE＝OC＝10，从而∠BOC＝60°，在△OBC中，BC＝＝5.【答案】5【知识要点】1．正弦定理、余弦定理定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝2RsinA，b＝__2Rsin__B__，c＝__2Rsin__C__；②sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____；(其中R为△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝__sin__A∶sin__B∶sin__C__；④asinB＝bsinA，bsinC＝csina2＝b2＋c2－2bccosA，B，asinC＝csinA．b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C；cosA＝，cosB＝____，cosC＝____.解决解斜三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.三角形的面积：S△ABC＝__absin__C__＝__acsin__B__＝__bcsin__A__＝＝(a＋b＋c)·r(R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径)．3．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角(如图(a))．图(a)图(b)4．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．5．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．典例剖析【p56】考点1利用正弦定理解三角形已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB－bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB－sinBcosA＝0，即sinB(sinA－cosA)＝0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA－cosA＝0，即sin＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)法一：在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosA，则20＝4＋c2－4c·.即c2－2c－16＝0，解得c＝－2(舍)或c＝4，又S＝bcsinA，所以S＝×2×4×＝4.法二： a＝2，b＝2，由(1)知A＝，∴由＝得sinB＝＝＝， sinB＝<＝sinA，∴B为锐角．∴cosB＝，∴sinC＝sin＝(cosB＋sinB)＝·＝.∴S△ABC＝absinC＝·2·2·＝4.考点2利用余弦定理解三角形(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．【解析】法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及余弦定理，得2b·＝a·＋c·，整理得，a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝＝，又00，cosA＝，B＝.【答案】(2)△ABC中，cos∠ABC＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则BC的长为________．【解析】在△ABC中，设B...
