第28讲平面向量基本定理及坐标表示夯实基础【p66】【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件．【基础检测】1．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①B．②C．①③D．②③【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．【答案】C2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若(a＋b)∥(4b－2a)，则实数x的值是()A．－2B．3C.D．2【解析】因为a＝(1，1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，1＋x)，4b－2a＝(6，4x－2)．因为(a＋b)∥(4b－2a)，所以3(4x－2)－6(1＋x)＝0，解得x＝2.故选D.【答案】D3．已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________．【解析】由已知得⇒【答案】4．已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标为________．【解析】设D(x，y)， AB＝DC，∴(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，∴D(0，－4)．【答案】(0，－4)【知识要点】1．平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个__不共线__向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫作向量的坐标表示，|a|＝叫作向量a的长度(模)．3．平面向量坐标运算向量的加减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__．实数与向量的积若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝__(λx1，λy1)__．向量的坐标若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝__(x2－x1，y2－y1)__.4.两向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－y1x2＝0.典例剖析【p66】考点1向量基本定理及应用(1)在下列向量组中，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．e1＝(0，1)，e2＝(1，－6)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－1)C．e1＝(3，－5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝【解析】选项A.0×≠1×1，可以作为基底向量．选项B.×≠2×5，可以作为基底向量．选项C.3×10≠×6，可以作为基底向量．选项D.2×＝×，不可以作为基底向量．故选D.【答案】D(2)已知点O是△ABC内的一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用b和c表示a.【解析】以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系．由OA＝2，∠AOx＝120°，所以A(2cos120°，2sin120°)，即A(－1，)，易求B(0，－1)，C(3，0)，设OA＝λ1OB＋λ2OC，即(－1，)＝λ1(0，－1)＋λ2(3，0)，解得∴a＝－b－c.【小结】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点2向量共线的坐标表示及应用(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．【解析】 在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴DC＝2AB.设点D的坐标为(x，y)，则DC＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴解得故点D的坐标为(2，4)．【答案】(2，4)(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB(O为坐标原点)的交点P的坐标为________．【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝O...
