第28讲平面向量基本定理及坐标表示考点集训【p201】A组1．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－3)，若a∥b，则x＝()A．－B.C.D．6【解析】若a∥b，则有1×(－3)＝2x，解得x＝－.故选A.【答案】A2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋e2C．2e2－3e1，6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2【解析】不共线的向量就能作为基底，D选项对应的坐标分别是，不共线，故可以作为基底．【答案】D3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝()A．(2，－6)B．(－2，6)C．(2，6)D．(－2，－6)【解析】因为各向量首尾相接，所以4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以向量d为(－2，－6)．【答案】D4．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于()A．－a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋b【解析】设c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，∴∴∴c＝a－b.【答案】B5．与向量a同向的单位向量为，若向量a的起点坐标为(1，－2)，模为4，则a的终点坐标是()A．(－5，2－2)B．(1－2，4)C．(－5，2－2)或(7，－2－2)D．(1－2，4)或(1＋2，－6)【解析】设终点坐标为B(x，y)，则a＝(x－1，y＋2)，由同向单位向量的性质可知－(y＋2)＝(x－1)，模为4，即＝4，解方程可求得x＝－5，y＝2－2，或x＝7，y＝－2－2(舍，因为此时向量a与单位向量反向)，故选A.【答案】A6．已知向量a，b满足a＝(1，1)，b＝(0，－1)，则b－2a＝____________．【解析】因为a＝(1，1)，b＝(0，－1)，所以b－2a＝(0，－1)－(2，2)＝(－2，－3)，故答案为(－2，－3)．【答案】(－2，－3)7．已知OA＝(2，0)，OB＝(0，2)，AC＝tAB，t∈R，当|OC|最小时，t＝________．【解析】由题意，因为AC＝tAB，所以OC－OA＝t(OB－OA)，得OC＝tOB＋(1－t)OA＝(2－2t，2t)，所以|OC|＝＝2，当t＝时，|OC|有最小值.【答案】8．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M(0，20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18)．B组1．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为()A．x轴B．第一、三象限的角平分线C．y轴D．第二、四象限的角平分线【解析】a＋b＝(1，－m)＋(m2，m)＝(m2＋1，0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a＋b所在的直线可能为x轴．【答案】A2．已知在△ABC中，D是AB边上的一点，CD＝λ，|CA|＝1，|CB|＝2，CA与CB夹角为60°，则|CD|＝()A.B.C.D.【解析】△ABC中，D是AB边上的一点，且CD＝λ，∴CD是△ABC的角平分线，如图所示，又|CA|＝1，|CB|＝2，CA与CB的夹角为60°，AB2＝AC2＋BC2－2|AC|·|BC|·cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，∴|AB|＝，∴△ABC是直角三角形，∴＝＝cos30°，∴CD＝＝，即|CD|＝，故选B.【答案】B3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|＝1，若点P(1，)，则的取值范围是()A．[5，6]B．[6，7]C．[6，9]D．[5，7]【解析】假设A(cosθ，0)，B(0，sinθ)，θ∈[0，2π]，则AP＝(1－cosθ，)，BP＝(1，－sinθ)，OP＝(1，)，所以有AP＋BP＋OP＝(3－cosθ，3－sinθ)，|AP＋BP＋OP|＝，＝＝，因为－1≤cos≤1，所以5≤|AP＋BP＋OP|≤7，故选D.【答案】D4．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD＋AE＝xAB＋yAC，则＋的最小值为()A.B．2C.D.【解析】如图可知x，y均为正，设AD＝mAB＋nAC，AE＝λAB＋μAC，∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，∵AD＋AE＝xAB＋yAC＝(m＋λ)AB＋(n＋μ)AC，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，∴＋＝(x＋y)＝≥＝，则＋的最小值为，故选D.【答案】D
