第29讲平面向量的数量积夯实基础【p67】【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题．【基础检测】1．在四边形ABCD中，AB·BC＝0，且AB＝DC，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【解析】在四边形ABCD中， AB·BC＝0，∴AB⊥BC， AB＝DC，∴AB綊DC，∴四边形ABCD是矩形．故选C.【答案】C2．已知向量a＝(1，)，b＝(t，2)，若向量b在a方向上的投影为，则实数t＝()A．－1B．1C．3D．5【解析】根据一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，可得＝＝，解得t＝－1，故选A.【答案】A3．已知a，b，c都是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为______．【解析】由a＋b＝c得a－c＝－b，两边平方得a2－2a·c＋c2＝(－b)2，又a，b，c都是单位向量，所以有1－2a·c＋1＝1，所以a·c＝.【答案】4．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．【解析】设a与b的夹角为θ.依题意得a2－2b2＋a·b＝－2，4－8＋4cosθ＝－2，cosθ＝.又θ∈[0，π]，因此θ＝，即向量a与b的夹角为.【答案】【知识要点】1．两向量的夹角已知非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫作a与b的夹角．a与b的夹角的取值范围是__[0，π]__．当a与b同向时，它们的夹角为__0__；当a与b反向时，它们的夹角为__π__；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把__|a||b|cos__θ__叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cosθ叫作向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，__它是负值__；当θ为直角时，它是零．a·b的几何意义：数量积a·b等于__a的长度|a|__与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝____数量积a·b＝|a|·|b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤·5.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.典例剖析【p68】考点1数量积的运算(1)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，m)，a·(a－2b)＝0，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2【解析】根据向量的坐标运算，代入坐标得(3，－1)·[(3，－1)－2(1，m)]＝0，3＋1＋2m＝0，解得m＝－2，所以选A.【答案】A(2)已知四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM等于()A．20B．15C．9D．6【解析】AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，故选C.【答案】C(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．【解析】以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.【答案】11【小结】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．考点2向量的模与夹角(1)已知向量m与n满足|m|＝1，|n|＝2，且m⊥(m＋n)，则向量m与n的夹角为________．【解析】设m，n的夹角为θ，因为m⊥(m＋n)，所以m·(m＋n)＝m2＋m·n＝1＋1×2cosθ＝0，...
