第30讲平面向量应用考点集训【p203】A组1．设a、b是不共线的两个非零向量，已知AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1【解析】BD＝BC＋CD＝2a－b，AB＝2a＋pb，由A、B、D三点共线知，存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb， a、b不共线，∴∴p＝－1.【答案】D2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为()A．5NB．5NC．10ND．5N【解析】由题意可知：对应向量如图，由于α＝60°，∴F2的大小为|F合|·sin60°＝10×＝5.故选A.【答案】A3．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．梯形【解析】因为AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，所以AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，所以AD∥BC，AD≠BC，因此四边形ABCD为梯形，选D.【答案】D4．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OC＋OA)＝(PA－PB)·(OA＋OB)＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【解析】若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OC＋OA)＝(PA－PB)·(OA＋OB)＝0，可得CB·(OB＋OC)＝AC·(OC＋OA)＝BA·(OA＋OB)＝0，即为(OB－OC)·(OB＋OC)＝(OC－OA)·(OC＋OA)＝(OA－OB)·(OA＋OB)＝0.即有|OA|2＝|OB|2＝|OC|2，则|OA|＝|OB|＝|OC|，故O为△ABC的外心．故选B.【答案】B5．已知两定点A(1，1)，B(－1，－1)，动点P(x，y)满足PA·PB＝，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线【解析】由题知PA＝(1－x，1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)，所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，得＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．【答案】B6．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD.π【解析】由题意知M，N，又 OM·ON＝×－A2＝0，∴A＝π.【答案】B7．已知圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M、N两点，点P为圆O上任意一点，则PM·PN的最大值为__________．【解析】令x＝0，得y2＝4，解得y＝±2，取N(0，－2)，令y＝0，得x2＝4，解得x＝±2，取M(2，0)，设点P(2cosθ，2sinθ)(θ∈[0，2π))，则PM·PN＝(2－2cosθ，－2sinθ)·(－2cosθ，－2－2sinθ)＝4sinθ－4cosθ＋4＝4sin＋4，当sin＝1时，PM·PN取得最大值，最大值为4＋4.【答案】4＋48．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设EF＝λAB＋μAD，求λ＋μ的值；(2)若AB＝，BC＝2，当AE·BF＝1时，求DF的长．【解析】(1) E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点，∴EF＝EC＋CF＝BC＋CD.矩形ABCD中，BC＝AD，CD＝－AB，∴EF＝－AB＋AD，∴λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－＋＝.(2)设DF＝mDC(0＜m＜1)，则CF＝(m－1)DC， AE＝AB＋BC＝AB＋AD，BF＝CF＋BC＝(m－1)DC＋BC＝(m－1)AB＋AD，又AB·AD＝0，∴AE·BF＝·[(m－1)AB＋AD]＝(m－1)AB2＋AD2＝3(m－1)＋2＝1，解得m＝，故DF的长为.B组1．设向量a与b满足＝2，b在a方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a与a－λb垂直，则λ＝()A.B．1C．2D.3【解析】 a⊥(a－λb)，∴a·(a－λb)＝a2－λa·b＝0，∴λa·b＝4，①又 |b|cos〈a，b〉＝1，即＝1，∴a·b＝2，②∴联立①②得：λ＝2.【答案】C2．已知向量OB＝(2，0)，向量OC＝(2，2)，向量CA＝(cosα，sinα)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由CA＝(cosα，sinα)，知点A在以C(2，2)为圆心，为半径的圆周上(如图)，过原点O作圆C的切线OA′，A′为切点，由＝2，＝知∠A′OC＝，有∠A′OB＝－＝，过点O作另一切线OA″，A″为切点，则∠A″OB＝＋＝，选D.【答案】D3．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是__________．【解析】 |a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)． |c－a－b|＝1，∴＝1，即(x－...
