第30讲平面向量应用夯实基础【p69】【学习目标】平面向量在平面几何、解析几何、三角函数、数列等方面的综合应用．【基础检测】1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解析】 AB＝(2，－2)，CB＝(6，6)，∴AB·CB＝12－12＝0，∴AB⊥CB，又|AB|≠|CB|，∴△ABC为直角三角形．【答案】B2．河中水流自西向东以每小时10km的速度流动，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10km，该小船行驶的方向和静水速度分别为()A．西偏北30°，速度为20km/hB．北偏西30°，速度为20km/hC．西偏北30°，速度为20km/hD．北偏西30°，速度为20km/h【解析】由题意得v静水＝＝20，方向为北偏西30°，选B.【答案】B3．已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)＝________．【解析】(BD＋BE)·(BE－CE)＝(BD＋BE)·BC＝2BC·BC＝2|BC|2，显然|BC|的长度为半个周期，周期T＝＝2，∴|BC|＝1，所求值为2.【答案】24．已知点A(3，3)，O为坐标原点，设点P(x，y)，且x，y满足则向量OP在向量OA方向上的投影的取值范围是____________.【解析】如图所示，作出P的可行域△OMN，设z＝x＋y，由直线y＝－x＋z过点M(2，4)时zmax＝6，当过点N(－2，0)时zmin＝－2，即x＋y∈(－2，6)，向量OP在向量OA方向上的投影为：|OP|cos〈OP，OA〉＝|OP|×＝＝∈(－，3)．【答案】【知识要点】1．向量应用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件．向量表示：a⊥b⇔__a·b＝0__．坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__．(2)两个向量平行的充要条件．向量表示：若a∥b，且b≠0，则__∃λ∈R，使a＝λb__；坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__x1y2－x2y1＝0或__(3)夹角公式：cosθ＝____(0°≤θ≤180°)．(4)模长公式：|a|＝＝.(5)数量积性质：|a·b|≤|a|·|b|.2．向量应用的分类概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和不等式为背景的一种向量描述．它需要掌握向量的概念及基本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的“数”“形”两重性解决问题．(2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述.它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．(3)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．(4)平面向量在平面几何中的应用，是以平面几何中的基本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景，重点考查平面向量的线性运算(三角形法则，平行四边形法则)和几何图形的基本性质．(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用，是以实际问题为背景，考查学科知识的综合及向量的方法．典例剖析【p70】考点1用向量解决平面几何问题(1)P为四边形ABCD所在平面上一点，PA＋PB＋PC＋PD＝AB＋CD，则P为()A．四边形ABCD对角线交点B．AC的中点C．BD的中点D．CD边上一点【解析】 AB＝AP＋PB，CD＝CP＋PD，PA＋PB＋PC＋PD＝AB＋CD，∴PA＋PC＝AP＋CP，∴PA＋PC＝0.∴点P为线段AC的中点．故选B.【答案】B(2)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”“外心”)．【解析】 OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．【答案】垂心【小结】利用向量知识解决平面几何问题的一般方法，即所谓的“三部曲”：(1)建立起平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、平分等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．考点2用向量解决解析几何问题(1)设O为坐标原点，C为...
