4.2三角恒等变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但这三组公式不要求记忆)2015天津,15两角差的余弦公式函数在闭区间上的最值★★★分析解读两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.破考点【考点集训】考点三角恒等变换1.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.-❑√32B.❑√32C.-12D.12答案D3.若tanα=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-12炼技法【方法集训】方法1三角函数的化简与求值问题1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin2α=23,则cos2(α+π4)=()A.16B.13C.12D.23答案A2.已知tanα=2.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanα·tanπ4=2+11-2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-2cos2α=2tanαtan2α+tanα-2=2×222+2-2=1.方法2利用辅助角公式解决问题的方法3.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案❑√2;14.已知函数f(x)=(1+tanx)sin2x.(1)求f(x)的定义域;(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.解析(1)因为函数y=tanx的定义域是x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z.(2)f(x)=(1+tanx)sin2x=(1+sinxcosx)·sin2x=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+1=❑√2sin(2x-π4)+1.由f(α)=2,得sin(2α-π4)=❑√22.因为0<α<π,所以-π4<2α-π4<7π4,所以2α-π4=π4或2α-π4=3π4,解得α=π4或α=π2(舍去).所以α=π4.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos(2x-π3)2=12(12cos2x+❑√32sin2x)-12cos2x=❑√34sin2x-14cos2x=12sin(2x-π6).所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间[-π3,-π6]上是减函数,在区间[-π6,π4]上是增函数,f(-π3)=-14,f(-π6)=-12,f(π4)=❑√34,所以f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值为❑√34,最小值为-12.2.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin(x+π3)-❑√3cos2x+❑√34,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间[-π4,π4]上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cosx·(12sinx+❑√32cosx)-❑√3cos2x+❑√34=12sinx·cosx-❑√32cos2x+❑√34=14sin2x-❑√34(1+cos2x)+❑√34=14sin2x-❑√34cos2x=12sin(2x-π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间[-π4,-π12]上是减函数,在区间[-π12,π4]上是增函数,f(-π4)=-14,f(-π12)=-12,f(π4)=14,所以函数f(x)在闭区间[-π4,π4]上的最大值为14,最小值为-12.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tan(α-5...
