课时作业29平面向量的数量积一、选择题1．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝2，|a|＝2，则|b|等于(D)A.B．2C．4D.2解析：因为a·(a－b)＝2，所以a2－a·b＝2，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝2，所以4－2|b|×＝2，解得|b|＝2.2．已知向量a＝(2,1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝(A)A．－B.C．1或－D.1或解析：因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2,1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A.3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为(A)A.B.C.πD.π解析：对|a－b|＝两边平方得a2－2a·b＋b2＝3，即1－4cos〈a，b〉＋4＝3，解得cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝.故选A.4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(A)A.B.C．2D.解析：由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.5．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则AC·BD＝(C)A．2B．3C．6D.12解析：AC·BD＝(AB＋BC)·(AD－AB)＝(AB＋BC)·(2BC－AB)＝2|BC|2＋BC·AB－|AB|2＝8＋2×2×－4＝6.6．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足AQ＝2QB，则QC·QD＝(D)A．－B.C．－D.解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．又AQ＝2QB，∴Q，∴QC＝，QD＝，∴QC·QD＝＋1＝.故选D.7．已知向量AB＝(1,2)，AC＝(－1,2)，则△ABC的面积为(D)A.B．4C.D.2解析：由题意，得|AB|＝，|AC|＝.设向量AB，AC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以sinθ＝，所以S△ABC＝|AB||AC|sinθ＝×××＝2，故选D.8．(多选题)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(ABD)A.2＝AC·ABB.2＝BA·BCC.2＝AC·CDD.2＝解析：由AC·AB＝|AC||AB|cosA＝|AD||AB|，由射影定理可得|AC|2＝AC·AB，即选项A正确，由BA·BC＝|BA||BC|cosB＝|BA||BD|，由射影定理可得|BC|2＝BA·BC，即选项B正确，由AC·CD＝|AC||CD|cos(π－∠ACD)<0，又|AB|2>0，即选项C错误，由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由选项A，B可得|CD|2＝，即选项D正确，故选ABD.二、填空题9．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝.解析： a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，解得2a·b＝1，∴|a＋b|＝＝.10．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)且b在a方向上的投影为－3，则向量a与b的夹角为.解析：因为b在a方向上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.11．(多填题)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上有一点M满足AM＝mAB＋AD(m∈R)，则m＝，AM·BD＝－.解析：解法1：设EM＝λBD，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，所以AM＝AB＋BE＋EM＝AB＋AD＋λBD＝AB＋AD＋λ(AD－AB)＝(1－λ)AB＋(＋λ)AD.又AM＝mAB＋AD，所以1－λ＝m，＋λ＝，所以λ＝，m＝，所以AM＝AB＋AD，所以AM·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝AD2－AB2＋AB·AD.因为在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，所以AM·BD＝×4－×4＋×2×2×cos60°＝－.解法2：设AM与BD交于点P，则AP＝AM＝mAB＋AD，因为B，P，D三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，所以AM＝AB＋AD，所以AM·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝AD2－AB2＋AB·AD.因为在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，所以AM·BD＝×4－×4＋×2×2×cos60°＝－.12．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2，点M为BC边上一动点，则AM·DM的取值范围为.解析：如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)，C(2，0)，△BCD是等边三角形，则D(，3)，BD＝2，∠CBD＝60°.又∠ABC＝90°，则∠ABD＝30°，则AB＝4，A(0,4)．又点M...
