高考数学一轮复习 考点规范练22 数列的概念与表示（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

考点规范练22数列的概念与表示一、基础巩固1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式an=()A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+32.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5等于()A.56B.65C.130D.303.已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=()A.4B.3C.2D.14.若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{1xn}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.405.已知数列{an}满足:∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,则a5=()A.132B.116C.14D.126.已知数列{an}的前4项分别是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是an=.7.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)(78)n,则当an取得最大值时,n=.9.若数列{an}的通项为an=(-1)n(2n+1)·sinnπ2+1,前n项和为Sn,则S100=.10.已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.二、能力提升11.已知数列{an}的通项an=nn2+90,则an的最大值是()A.3√10B.19C.119D.√106012.已知数列{an}满足an+1={2an,0≤an≤12,2an-1,12m(其中m,n∈N*),Sn-Sm的最大值是.考点规范练22数列的概念与表示1.B2.D解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1−n-1n=1n(n+1),∴1a5=5×(5+1)=30.3.D解析由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.4.B解析∵数列{1xn}为调和数列,∴11xn+1−11xn=xn+1-xn=d.∴{xn}是等差数列.又x1+x2+…+x20=200=20(x1+x20)2,∴x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.5.A解析∵数列{an}满足:∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,∴a2=a1·a1=14,a3=a1·a2=18,∴a5=a3·a2=132.6.2n+1n2+1解析数列{an}的前4项可分别变形为2×1+112+1,2×2+122+1,2×3+132+1,2×4+142+1,故an=2n+1n2+1.7.3n解析a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.8.5或6解析由题意令{an≥an-1,an≥an+1,∴{(n+2)(78)n≥(n+1)(78)n-1,(n+2)(78)n≥(n+3)(78)n+1,解得{n≤6,n≥5.∴n=5或n=6.9.200解析当n为偶数时,则sinnπ2=0,即an=(2n+1)sinnπ2+1=1(n为偶数).当n为奇数时,若n=4k+1,k∈Z,则sinnπ2=sin(2kπ+π2)=1,即an=-2n;若n=4k+3,k∈Z,则sinnπ2=sin(2kπ+3π2)=-1,即an=2n+2.故a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S100=1004×8=200.10.解(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①因为a1不适合①式,所以an={6,n=1,2·3n-1+2,n≥2.11.C解析令f(x)=x+90x(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2√90,当且仅当x=3√10时等号成立.因为an=1n+90n,所以1n+90n≤12√90,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an取得最大值,故an=119最大.12.15解析由已知可得,a2=2×35-1=15,a3=2×15=25,a4=2×25=45,a5=2×45-1=35,∴{an}为周期数列且T=4,∴a2018=a504×4+2=a2=15.13.66解析由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,…,∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.2n-1解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1).又S1=2a1-1,∴a1=1.∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.15.解(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故{bn}的通项公式为bn=(a-3)·2n-1.(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2[12(32)n-2+a-3].当n≥2时,由an+1≥an,可知12(32)n-2+a-3≥0,即a≥-9.又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).16.10解析由an=-n2+12n-32=-(n-4)·(n-8)>0得4