考点规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.23.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,则向量a,b的夹角为()A.30°B.60°C.150°D.120°4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为()A.√5B.√13C.5D.135.在四边形ABCD中,若⃗AC=(1,2),⃗BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.√5B.2√5C.5D.106.在△ABC中,AB边上的高为CD,若⃗CB=a,⃗CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则⃗AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b7.设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cosθ=()A.-35B.35C.√55D.-2√558.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a与b夹角的大小为.10.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.11.设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ=.12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.二、能力提升13.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,设m,n所成的角为θ,cosθ=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-9414.在矩形ABCD中,AB=1,AD=√3,P为矩形内一点,且AP=√32,若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD(λ,μ∈R),则λ+√3μ的最大值为()A.32B.√62C.3+√34D.√6+3√2415.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-116.如图,在同一个平面内,向量⃗OA,⃗OB,⃗OC的模分别为1,1,√2,⃗OA与⃗OC的夹角为α,且tanα=7,⃗OB与⃗OC的夹角为45°.若⃗OC=m⃗OA+n⃗OB(m,n∈R),则m+n=.17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.三、高考预测18.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是.考点规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用1.B解析A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.3.D解析设向量a,b的夹角为θ,则(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cosθ+|b|2=0,即2×1×cosθ=-1,故cosθ=-12.又θ∈[0°,180°],故θ=120°,故选D.4.B解析由题意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=√13.5.C解析依题意得,⃗AC·⃗BD=1×(-4)+2×2=0,∴⃗AC⊥⃗BD.∴四边形ABCD的面积为12∨⃗AC||⃗BD|=12×√5×√20=5.6.D解析 a·b=0,∴⃗CA⊥⃗CB. |a|=1,|b|=2,∴AB=√5.又CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.∴AD=4√5=4√55.∴ADAB=4√55√5=45.∴⃗AD=45⃗AB=45¿)=45(a-b),故选D.7.A解析 向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),∴b=a+2b-a2=(2,1),∴cosθ=a·b|a||b|=-4+1√5×√5=-35.8.A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分不必要条件.故选A.9.π6解析设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=2√32×2=√32,且两个向量夹角范围是[0,π],故所求的夹角为π6.10.-23解析 a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-23.11.14解析 e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=12. (e1+λe2)⊥(2e1-3e2),∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2e12+(2λ-3)e1·e2-3λe22=2+12(2λ-3)-3λ=0.∴λ=14.12.解(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.解得cosθ=12.因为θ∈[0,π],所以θ=π3.(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1,所以|a+b|...
