考点规范练30复数一、基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i2.已知复数z=2-i,则z·z的值为()A.5B.√5C.3D.√33.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)4.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i5.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=√26.已知复数z满足iz=i+z,则z=()A.-12+12iB.-12−12iC.12−12iD.12+12i7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i8.设z=1+i,则2z+z2等于()A.1+iB.-1+iC.-iD.-1-i9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.11.已知i是虚数单位,则1-i(1+i)2=.12.已知a∈R,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为.二、能力提升13.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i14.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z1+z2z1-z2=()A.-1-iB.1+iC.1-iD.-1+i15.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.16.已知复数z=√3+i(1-√3i)2,z是z的共轭复数,则z·z=.17.已知复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是.18.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),则λ+μ的值是.三、高考预测19.若z是z的共轭复数,且满足z(1-i)2=4+2i,则z=()A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD.1-2i考点规范练30复数1.C解析由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.A解析z·z=(2-i)·(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.3.B解析设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以{a+1<0,1-a>0,解得a<-1.故选B.4.B解析设z=a+bi(a,b∈R),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.5.D解析z=1-i,|z|=√1+1=√2,选D.6.C解析∵iz=i+z,∴(1-i)z=-i,即z=-i1-i=-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12−12i.故选C.7.A解析由题意可知z2=1-i,故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.8.A解析2z+z2=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+2i=2(1-i)2+2i=1-i+2i=1+i.9.B解析∵z1=2+2i,z2=1-3i,∴z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i.∴复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为(-125,45),位于第二象限.故选B.10.√10解析由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2+32=√10,答案为√10.11.-12−12i解析1-i(1+i)2=1-i2i=(1-i)·i2i·i=1+i-2=-12−12i.12.-2解析∵a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15−a+25i为实数,∴-a+25=0,即a=-2.13.C解析由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.14.C解析∵z1=-1+3i,z2=1+i,∴z1+z2z1-z2=-1+3i+1+i-1+3i-1-i=4i-2+2i=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2i(-1-i)2=1-i.故选C.15.52解析由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{a2-b2=3,ab=2,解得{a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.16.14解析∵z=√3+i(1-√3i)2=√3+i-2-2√3i=√3+i-2(1+√3i)=(√3+i)(1-√3i)-2(1+√3i)(1-√3i)=2√3-2i-8=-√34+14i,故z=-√34−14i,∴z·z=(-√34+14i)(-√34-14i)=316+116=14.17.[-916,7]解析由复数相等的充要条件可得{m=2cosθ,4-m2=λ+3sinθ,化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ-38)2−916,因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈[-916,7].18.1解析由条件得⃗OC=(3,-4),⃗OA=(-1,2),⃗OB=(1,-1),根据⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),∴{-λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得{λ=-1,μ=2.∴λ+μ=1.19.B解析∵z(1-i)2=4+2i,∴z(-2i)=4+2i.∴z=(2+i)i=-1+2i.∴z=-1-2i.故选B.
