考点规范练45二项式定理一、基础巩固1.x(1+x)6的展开式中x3的系数为()A.30B.20C.15D.102.设n为正整数,(x-1x√x)2n的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.23.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A.-20B.-15C.15D.204.若(1+√3)4=a+b√3(a,b为有理数),则a+b等于()A.36B.46C.34D.445.已知数列{an}为等差数列,且满足a1+a5=90.若(1-x)m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项,则m的值为()A.6B.8C.9D.106.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-1217.使(3x+1x√x)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.78.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.6B.7C.8D.59.二项式(2√x-1√x)6的展开式中的常数项为.10.若(ax2+1√x)5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=.11.设(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则a1+a2+…+a5=.12.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为5,则实数a=.二、能力提升13.若(x+ax)(2x-1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为()A.-40B.-20C.20D.4014.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=()A.256B.364C.296D.51315.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.8016.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.17.若x9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a1+a3+a5+a7+a9a7的值为.三、高考预测18.已知二项式(x2+1x)n的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是.考点规范练45二项式定理1.C解析因为(1+x)6的展开式的第(k+1)项为Tk+1=C6kxk,所以x(1+x)6的展开式中x3的项为C62x3=15x3,所以系数为15.2.B解析因为(x-1x√x)2n展开式的通项公式为Tk+1=C2nkx2n-k(-1x√x)k=C2nk(-1)kx4n-5k2,令4n-5k2=0,得k=4n5,所以n可取10.3.C解析设展开式中的常数项是第(k+1)项,则Tk+1=C6k·(4x)6-k·(-2-x)k=C6k·(-1)k·212x-2kx·2-kx=C6k·(-1)k·212x-3kx.令12x-3kx=0,解得k=4,故常数项为T5=C64·(-1)4=15.4.D解析(1+√3)4=1+C41·√3+C42¿)2+C43¿)3+(√3)4=28+16√3,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.5.D解析由题意,a3=a1+a52=902=45,(1-x)m展开式中x2项的系数为Cm2,所以Cm2=45,m=10.6.D解析展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.7.B解析Tr+1=Cnr(3x)n-r(1x√x)r=Cnr3n-r·xn-52r,当Tr+1是常数项时,有n-52r=0,故选B.8.A解析由二项式定理知an=C10n-1(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,故a6=C105,则k的最大值为6.9.-160解析二项式(2√x-1√x)6的通项为Tr+1=C6r(2√x)6-r(-1√x)r=(-1)rC6r26-rx3-r,令3-r=0,则r=3.故(-1)3×C63×23=-20×8=-160.10.-2解析因为Tr+1=C5r(ax2)5-r(1√x)r=C5ra5-r·x10-5r2,所以由10-5r2=5,解得r=2.因此C52a5-2=-80,解得a=-2.11.211解析将(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5化为[(x+1)-3]5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,令x+1=0,得a0=-35,令x+1=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-25,则a1+a2+a3+a4+a5=-25+35=211.12.-12解析∵(1+x)5=1+C51x+C52x2+C53x3+C54x4+C55x5,∴(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为a·C52+C53=5,即10a+10=5,解得a=-12.13.D解析在(x+ax)(2x-1x)5中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.原式=x·(2x-1x)5+1x(2x-1x)5,故常数项为x·C53(2x)2(-1x)3+1x·C52(2x)3·(-1x)2=-40+80=40.14.B解析令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=36+12.令x=0,则a0=1,故a2+a4+…+a12=36+12-1=364.15.C解析(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.16.164解析由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-r·C2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.17.649解析令x=2,得29=a0+a1+a2+…+a8+a9,令x=0,得0=a0-a1+a2-…+a8-a9,所以a1+a3+a5+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28.又x9=[1+(x-1)]9,其中T8=C97(x-1)7,所以a7=C97=36,故a1+a3+a5+a7+a9a7=25636=649.18.10解析由题意可得,2n=32⇒n=5,所以Tr+1=C5r(x2)5-r(1x)r=C5rx10-3r,令10-3r=1⇒r=3,所以展开式中含x项的系数是10.
