[练案27]第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算A组基础巩固一、单选题1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(D)A．0B．1C．2D．3[解析]向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于(A)A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD．BC＋BA[解析]如图所示，CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝－BC＋BA.故选A.3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝(D)A．OHB．OGC．EOD．FO[解析]在方格纸上作出OP＋OQ，如图所示，则容易看出OP＋OQ＝FO，故选D.4．(2018·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝(A)A．ADB．ADC．BCD．BC[解析]EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD，故选A.5．(2020·重庆高三二诊)已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(C)A．5B．3C．D．2[解析]因为向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，所以存在实数t，使得m＝tn，即4a＋5b＝t(2a＋λb)，又向量a，b互相垂直，故a，b不共线，所以解得.故选C.6．(2020·黑龙江统一仿真模拟)点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点)，设BG＝a，GC＝b，则AB＝(D)A．a－bB．a＋bC．2a－bD．b－2a[解析]如图，EB＋BG＝EG，即AB＋BG＝GC，故AB＝GC－2BG＝b－2a.故选D.二、多选题7．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(BC)A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等[解析]对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确．8．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(AC)A．|AB|＝|AD|一定成立B.AC＝AB＋AD一定成立C.AD＝CB一定成立D.BD＝AD－AB一定成立[解析]在平行四边形ABCD中，AC＝AB＋AD一定不成立，AD＝CB一定不成立，BD＝AD－AB一定成立，但|AB|＝|AD|不一定成立，故选A、C.三、填空题9．如图所示，下列结论不正确的是__②④__.①PQ＝a＋b；②PT＝－a－b；③PS＝a－b；④PR＝a＋b.[解析]由a＋b＝PQ，知PQ＝a＋b，①正确；由PT＝a－b，从而②错误；PS＝PT＋b，故PS＝a－b，③正确；PR＝PT＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③.10．设a和b是两个不共线的向量，若AB＝2a＋kb，CB＝a＋b，CD＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于__－4__.[解析] A，B，D三点共线，∴AB∥BD. AB＝2a＋kb，BD＝BC＋CD＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.11．(2020·河南三市联考)若AP＝PB，AB＝(λ＋1)BP，则λ＝－.[解析]由AP＝PB可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则AB＝－BP，所以λ＋1＝－，解得λ＝－.12．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用OA和OB来表示向量OC，则OC＝OA＋OB.[解析]易知OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB.四、解答题13．(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.①求证：A，B，D三点共线；②若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；(2)已知a、b不共线，若向量ka＋b与a＋kb共线反向，求实数k的值．[解析](1)①证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD，又AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．②由①可知BD＝e1－4e2，又BF＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，得BF＝λBD，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，∴解得k＝12，(2) ka＋b与a＋kb共线反向，∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．∴∴k＝±1.又λ...
