[练案28]第二讲平面向量的基本定理及坐标表示A组基础巩固一、单选题1．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(B)A．2B．3C．4D．6[解析]因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故选B.2．(2020·抚州模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(B)A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b[解析]解法一：设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以所以所以c＝3a－b.解法二：代入验证法对于A,3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B,3a－b＝(4,2)＝c，故B正确．3．(2020·北京八十中学月考)已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝(C)A．B．2C．1D．－3[解析] A，B，D三点共线，∴AB∥AD，设AB＝λAD，则∴mn＝1.故选C.4．(2020·湖南重点中学联考)已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是(A)A．(，)B．(，)C．(，)D．(－，)[解析]设所求向量为n＝λm(λ>0)， m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)． |n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝，∴n＝(，)．故选A.5．若M是△ABC内一点，且满足BA＋BC＝4BM，则△ABM与△ACM的面积之比为(A)A．B．C．D．2[解析]设AC的中点为D，则BA＋BC＝2BD，于是2BD＝4BM，从而BD＝2BM，即M为BD的中点，于是＝＝＝.6．(2020·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足AC＝2CB，OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则＋＝(D)A．B．C．D．[解析] OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.二、多选题7．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(BD)A．a＝(1,2)，b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝(－，)，b＝(－3，－2)[解析]在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B、D.8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|MP|＝|MN|，则P点的坐标为(BD)A．(－8,1)B．(－1，－)C．(1，)D．(7，－)[解析]设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，而MN＝(－8,1)＝(－4，)，当MP＝MN时，有解得所以P点坐标为(－1，－)．同理当MP＝－MN时，可解得P(7，－)．故选B、D.三、填空题9．(2020·广西贺州联考)已知向量AB＝(m，n)，BD＝(2,1)，AD＝(3,8)，则mn＝__7__.[解析] AD＝AB＋BD＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.10．(2020·北京海淀区期中)已知向量a＝(1,0)，b＝(m，n)，若b－a与a平行，则实数n的值为__0__.[解析]b－a＝(m－1，n)，若b－a与a平行，则n×1＝(m－1)×0，得n＝0.11．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝__－2__.[解析] a＝(3,2)，b＝(－1,3)，∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，又λa－2b与a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.12．(2020·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝__－6__.[解析] a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20①，②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.四、解答题13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解析](1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝＝.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此时ka－b＝(k－2，－1)＝(－，－1)，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．14．(2020·河北六校第三次联考)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)b＋c＝(sinx－1，－1)，因为a∥(b＋c)，所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－.又x∈[－，]，所以x＝－.(2)a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋...
