高考数学一轮复习 练案（29）第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三讲 平面向量的数量积（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

[练案29]第三讲平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1．(2020·江西名校高三质检)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝(C)A．1B．2C．3D．4[解析]由题意可得a·b＝|a|·|b|·cosa，b＝2××cos30°＝3，故选C.2．(2020·安徽六校联考)向量a＝(2,4)，b＝(5,3)，则a·(a－b)＝(D)A．－10B．14C．－6D．－2[解析] a－b＝(－3,1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.3．(2020·郑州一中高三入学测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(C)A．B．C．D．4[解析]依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.4．(2020·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，AP＝PB，且|CP|＝2，|CA|＝8，∠ACB＝，则CP·CA＝(A)A．24B．12C．24D．12[解析]设|CB|＝x， 2CP＝CA＋CB，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴CP·CA＝(CA＋CB)·CA＝(CA2＋CA·CB)＝×(64－16)＝24.故选A.5．(2020·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(D)A．B．C．D．[解析]解法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为.解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1,0)，b＝(0,1)，则b－a＝(－1,1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为.6．(2020·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则BA在BC方向上的投影等于(C)A．－B．C．D．3[解析]因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.因为|CO|＝|AO|＝|AC|，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，|AB|＝|BC|sin60°＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|cos∠ABC＝|BA|cos30°＝×＝.二、多选题7．(2020·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(CD)A．a＋bB．a＋bC．a－bD．a－b[解析] a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|a－b|2＝(4a2－4a·b＋b2)＝1，故选C、D.[优解]如右图，令OA＝a，OB＝b， a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴|BA|＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是单位向量.a－b＝(a－b)＝DA，又 (|DA|)＝，故选C、D.8．(2020·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(BC)A．(－∞，－)B．(－，2)C．(2，＋∞)D．(－2，)[解析] a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是(－，2)∪(2，＋∞)．故选B、C.三、填空题9．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cosa，b＝－.[解析]cosa，b＝＝＝－.10．(2020·湖北省部分重点中学高三起点考试)已知向量a＝(3,4)，b＝(x,1)，若(a－b)⊥a，则实数x等于__7__.[解析] (a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2＝a·b,25＝3x＋4，解得x＝7.11．(2020·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为__－1__.[解析] 向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cosa，b＝|b|·＝＝＝－1.12．(2020·武汉市部分学校高三调研测试)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝__2__.[解析]由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，...