[练案30]第四讲平面向量的综合应用A组基础巩固一、单选题1．若O为△ABC内一点，|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的(B)A．内心B．外心C．垂心D．重心[解析]由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2－6，则点P的轨迹是(D)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]因为PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，所以PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.3．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且|AB|＝，则AC·CB等于(A)A．－B．C．0D．[解析]由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠ACB＝－×·cos60°＝－.4．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为(B)A．1B．C．D．2[解析] a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．∴|a－b|＝＝.∴|a－b|最大值为.故选B.5．(2020·河北省深州中学期中)已知不共线向量OA，OB夹角为α，|OA|＝1，|OB|＝2，OP＝(1－t)OA，OQ＝tOB，(0≤t≤1)，|PQ|在t＝t0处取最小值，当00)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若OA·OB＝0，则函数f(x＋1)是(AD)A．周期为4的函数B．周期为2π的函数C．奇函数D．偶函数[解析]由题图可得A(，)，B(，－)，由OA·OB＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sinx，所以f(x＋1)＝sin[(x＋1)]＝cosx，它是周期4的偶函数．故选A、D.三、填空题9．在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于__2__.[解析]由题意知AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，所以|AB|＝2.10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是.[解析]由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，所以cosθ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.11．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．若m·n＝1，则cos(－x)＝－.[解析]m·n＝sincos＋cos2＝sin＋＝sin(＋)＋，因为m·n＝1，所以sin(＋)＝.因为cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝，所以cos(－x)＝－cos(x＋)＝－.故填－.12．(2020·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.DE·DC的最大值为__1__.[解析](1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，DE＝(t，－1)，DC＝(1,0)，∴DE·DC＝t≤1.解法二：选取{AB，AD}作为基底，设AE＝tAB，0≤t≤1，则DE·DC＝(tAB－AD)·AB＝t≤1.解法三：设AE＝tAB，则DE·DC＝DE·AB＝|DE|·1·cos∠AED＝|AE|＝|t||AB|＝|t|≤1.四、解答题13．(2020·河南洛阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cosA，cosC)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．[解析](1)由m⊥n，得m·n＝0，即(c－2b)cosA＋acosC＝0...
