第五章平面向量第4讲平面向量的应用习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.答案D2.在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形.答案C3.(2016·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则AB·AC＝()A.2B.2C.－2D.－2解析由余弦定理得cosA＝＝＝－，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2×＝－2，故选D.答案D4.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A.－B.－C.D.解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又 0≤θ≤π，∴θ＝.答案D5.(2015·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若AO＝AB＋AC，则∠BAC的度数等于()A.30°B.45°C.60°D.90°解析取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.由题意得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.答案C二、填空题6.(2016·广州综合测试)在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________.解析由题意知AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.答案27.(2016·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________.解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1，1)，M，设E(x，0)，x∈[0，1]，则EC·EM＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋，x∈[0，1]时，(1－x)2＋单调递减，当x＝0时，EC·EM取得最大值.答案8.(2016·太原模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________.解析由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0，4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案4三、解答题9.已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值.(1)证明由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)解因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以由此得，cosα＝cos(π－β).由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝.又α＞β，所以α＝，β＝.10.(2015·襄阳测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|OC|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点.(1)若x＝π，设点D为线段OA上的动点，求|OC＋OD|的最小值；(2)若x∈，向量m＝BC，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值.解(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意知C，所以OC＋OD＝，所以|OC＋OD|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝＋(0≤t≤1)，所以当t＝时，|OC＋OD|最小，为.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m＝BC＝(cosx＋1，sinx)，则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－sin，因为x∈，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，sin取得最大值1.所以m·n的最小值为1－，此时x＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2015·衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B.C.D.解析设a与b的夹角为θ. f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又 |a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝＜＝，即cosθ＜，又 θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C.答案C12.(2015·郑州质检)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M、...
